Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
6. Определить объем прямой призмы, у которой в основании лежит ромб со стороною а и тупым углом а, если диагональ боковой грани этой призмы составляет с боковым ребром призмы угол ?.
7. От правильной четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через диагональ нижнего основания и одну из вершин верхнего основания, отсечена пирамида с полной поверхностью s. Найти полную поверхность призмы, если угол при вершине треугольника, получающегося в сечении, равен а.
8. В правильной треугольной призме проведено сечение, проходящее через одну из сторон нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания. Определить площадь сечения, если сторона основания равна а, a плоскость сечения наклонена к плоскости основания под углом а.
9. Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом а. Как надо пересечь эту призму, чтобы в сечении получился квадрат с вершинами на боковых ребрах.
10. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник ABC (AB = АС), периметр которого равен 2р и угол при вершине А равен а. Через сторону ВС нижнего основания и противолежащую вершину А верхнего основания проведена плоскость, составляющая с плоскостью нижнего основания угол ?. Определить объем призмы.
И. В правильной четырехугольной призме проведена плоскость через середину оси и середины двух последовательных сторон основания. Сторона основания равна а, а боковое ребро равно Ь. Найти угол между проведенной плоскостью и основанием.
12. В основании усеченной призмы лежит разносторонний треугольник ABC с углами ABC = ?, ВAC = а и стороной AB = с. Вершины АГВ'С верхнего
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
401
осногания удалены от плоскости треугольника ABC на расстояниях AA1 = а% BB'= b, CC = с. Вичислить объем призмы ABCA'BfС1.
13. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, которая в сечении с призмой дает треугольник, периметр которого в п раз больше периметра основания призмы. Найти угол между секущей плоскостью и основанием призмы.
14. В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к основанию так, что ее площадь равна s. Сторона основания равна а. Определить:
а) угол между сечением и основанием;
б) углы многоугольника, полученного в сечении.
15. Через сторону ВС основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 проведена плоскость, проходящая через вершину второго основания. Найти угол между этой плоскостью и основанием призмы для каждого из следующих случаев:
а) отношение боковой поверхности призмы к полной поверхности отсеченной от нее треугольной пирамиды A1ABC равно т\
б) отношение боковой поверхности призмы к полной поверхности четырехугольной пирамиды ABCB1C1 равно т\
в) отношение полной поверхности четырехугольной пирамиды ABCB1C1 к полной поверхности треугольной пирамиды A1ABC равно яг.
П. 4. Треугольная пирамида
1. Две боковые грани треугольной пирамиды — прямоугольные равнобедренные треугольники, гипотенузы которых равны а и образуют между собою угол а. Найти объем пирамиды.
2. Определить объем правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой равно / и наклонено к плоскости основания под углом а.
3. Определить косинус внутреннего двугранного угла правильного тетраэдра.
4. Дана пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с острым углом а. Боковые ребра равны / и наклонены к основанию под углом ?. Определить объем пирамиды.
5. Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен а. Определить двугранный угол между боковыми гранями этой пирамиды.
6. Ребра оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны а и b (я<#). Определить объем и полную поверхность пирамиды, если известно, что боковые ребра наклонены к плоскости большего основания под углом а.
7. Ребра оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны соответственно а и b (a<ib). Определить ее высоту, если известно, что боковые грани образуют с плоскостью большего основания равные двугранные углы а.
8. В правильной треугольной пирамиде проведено сечение через одну из сторон основания перпендикулярно противолежащему ребру. Определить площадь сечения, если сторона основания равна а и боковое ребро составляет с плоскостью основания угол а.
9. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно я, а боковая сторона равна Ь. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы а. Определить высоту пирамиды.
10. Основание пирамиды — правильный треугольник; из трех боковых граней этой пирамиды одна перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к нему под углом а. Под какими углами наклонены к основанию боковые ребра?
11. Вокруг правильной треугольной пирамиды, двугранный угол между боковыми гранями которой равен ср, описан шар. Найти отношение объема пирамиды к объему шара.
26 П, С. Моденов
402 Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
