Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
152. В круге с центром в точке О проведен радиус OA и на нем отложен отрезок OB== а. Определить наибольший из вписанных в этот круг углов, опирающихся на отрезок OB (а < R).
§ 4. Применение тригонометрии к стереометрии П. 1. Плоскости, прямые, двугранные углы
1. На ребре двугранного угла а взят отрезок с и из его концов в плоскостях граней восставлены перпендикуляры а и Ь. Определить расстояние между концами этих перпендикуляров.
2. Прямая AB параллельна плоскости р. Прямая CD пересекает прямую AB под углом а и образует с плоскостью р угол ср. Определить угол между плоскостью р и плоскостью, в которой лежат прямые AB и CD.
3. Все двугранные углы трехгранного угла равны а. Найти расстояние от точки до вершины трехгранного угла, зная, что эта точка находится на расстоянии а от каждого ребра трехгранного угла.
4. В трехгранном угле все плоские углы равны а. Найти расстояние от точки M до вершины этого угла, если точка M находится на расстояниях, равных а от всех трех граней данного трехгранного угла.
5. Отрезок AB, длина которого равна а, параллелен плоскости р. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные отрезку AB и образующие с плоскостью р углы an?. Расстояние между точками пересечения плоскости р с проведенными прямыми равно Ь. Найти расстояние от отрезка AB до плоскости р.
6. Две пересекающиеся под углом а прямые пересекают плоскость Р. Одна из них образует с плоскостью P угол ?, а другая — угол Определить угол между плоскостью, в которой лежат данные прямые, и плоскостью Р.
7. Отрезки двух прямых линий, заключенные между двумя параллельными плоскостями, относятся, как 2:3, а их углы с плоскостью — как 2:1. Определить эти углы.
8. Даны три плоских угла трехгранного угла:
I BSC = a, ICSA = §, / ASB = т. Найти двугранные углы этого трехгранного угла.
398
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
9. Один из плоских углов трехгранного угла равен а, двугранные углы, прилежащие к этому плоскому углу, равны соответственно ? и т. Найти два других плоских угла.
10. Найти угол ребра SA с плоскостью грани SBC трехгранного угла SABC9 если
l_BSC = o., ICSA = $, ? ASB = f.
11. Определить угол между скрещивающимися диагоналями двух граней куба.
12. Отрезок AB параллелен плоскости. Из его концов проведены к плоскости две наклонные: AC = с и BD = d. Наклонная AC составляет с плоскостью угол а. Определить угол наклонной BD с этой плоскостью.
13. Наклонная образует с плоскостью угол а. Через вершину этого угла проведена к данной плоскости вторая прямая под углом ? к проекции наклонной на плоскость. Определить угол между этими прямыми.
14. Концы отрезка AB1 длина которого равна а9 отстоят от данной плоскости на расстояниях тип. Определить угол между отрезком и плоскостью.
15. Дан трехгранный угол SABC9 в котором плоские углы CSA и CSB равны а, а плоский угол ASB равен ?. Определить угол наклона ребра SC к плоскости грани ASB.
16. Прямоугольный треугольник ABC расположен так, что его гипотенуза AB лежит на плоскости р, а катеты образуют с плоскостью р углы а и ?. Определить угол между плоскостью треугольника и плоскостью р.
17. Параллелограмм и плоскость р расположены так, что одна из меньших сторон параллелограмма находится на плоскости р, а противоположная ей — удалена от плоскости на расстояние, равное расстоянию между большими сторонами параллелограмма. Определить угол между плоскостью р и плоскостью параллелограмма, если стороны параллелограмма относятся, как 3:5.
18. На плоское зеркало под углом а падает световой луч (угол а — это угол, который образует падающий луч с перпендикуляром к зеркалу). Пусть /—отраженный луч. Затем зеркало поворачивают на угол ? вокруг проекции падающего луча в плоскость первоначального положения зеркала. На какой угол отклонится отраженный луч /?
19. Доказать, что в любом трехгранном угле углы Ot1, а2, а3 наклона ребер к противоположным граням связаны соотношением
sin Ct1 1 sin а2 sin а3 ^
20. Доказать, что отношение синусов плоских углов любого трехгранного угла равно отношению синусов соответственно линейных углов трехгранных углов.
21. Сторона AB треугольника ABC лежит на плоскости р. Дано: / CAB = O., ?АВС = $; двугранный угол между плоскостью треугольника ABC и плоскостью р равен ср. Найти внутренние углы треугольника ABCf, где С — проекция точки С на плоскость р.
22. Квадрат, сторона которого равна а, проектируется на некоторую плоскость в виде ромба со стороной b и острым углом а. Найти косинус угла между плоскостью квадрата и плоскостью его проекции.
23. В плоскости (P) дан ромб ABCD со стороной а и углом A= 120°. Через точки В, C1 D проводят полупрямые By, Cz и Dt, перпендикулярные плоскости (P) и идущие по одну сторону от (P). На лучах By и Dt откладываются отрезки, соответственно равные BB' = DD' = х. Плоскость (P'), проходящая через точки А, В', D', пересекает Cz в точке С.
1°. Доказать, что при изменении х плоскость (P') проходит через фиксированную прямую. Что представляет собою четырехугольник AB'C'D'l Определить в функции а и X длину CC', затем стороны и площадь четырехугольника AB'C'D''.
