Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
В — C = 2а, AH = ha, b + c = 2l,
где H—основание высоты, опущенной из Л на сторону ВС. Исследовать.
3°. Вычислить Ь-\-с и ha в функции R и углов Л, В, С треугольника ABC Исходя из тех же данных, что и в 2°, вычислить углы
А
треугольника ABC. Можно принять за неизвестное cos-^=x.
Получить аналитически результаты проведенного ранее геометрического исследования. 124**. В плоскости даны оси 0Xt OY, OZ, на которых взяты тбчки Л, В, С. Положим
OA = х, OB = у, (DC = Z.
1°. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что точки А, В, С являются ортогональными проекциями точки M соответственно на оси ОХ, OY, OZ, может быть записано в виде
X sin (OY, OZ) + у sin (OZ, OX) ~\-х sin(OX, OY) = O. (1)
2°. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что точки Л, В, С лежат на одной прямой, может быть записано в виде
sin (OY, OZ) . sin (QZ, OX) sin (OX, OY) _ Q (2
3°. Рассмотрим три различные точки A1, A2, A3, расположенные на оси ОХ, и три точки S1, B2, Вг, расположенные на оси OY. Положим
ОЛ^ X1, ОA2 - X2, OAq —
394
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что прямые A1B1, A2B2, A3B3 пересекаются в одной точке, может быть записано в виде
_L(_L_ M+W_L 4+_L(J__ _і\ о.
4°. Обозначим через / точку, в которой пересекаются прямые A1B1, A2B2. * Каково геометрическое место точек /, если xv yv X1, у2 связаны соотношениями
1,1 1.1.
а)----=----
«> ('-?)('-?)-(¦-?)(¦-?)•
5°. Что дает соотношение (1), если треугольник ABC равнобедренный
(AB = АС), причем точка M взята на дуге ВС окружности (ABC), не содержащей точку А, а за оси OX, OYt OZ принимаются полупрямые MA, MB и MC) что мы получаем, если ABC — прямоугольный треугольник? Если он равнобедренный?
6°. Четыре точки А, В, С, D лежат на одной окружности и образуют выпуклый четырехугольник. Принимая за О точку D, установить, что дает соотношение (1).
7°. Пусть ABC — какой-нибудь треугольник, a D и D'— точки пересечения биссектрисы внутреннего угла со стороной ВС и с окружностью, описанной вокруг этого треугольника. Положим AD = la и AD! = \а. Принимая за точку О точку А, установить, что дает соотношение (1) для точек А, В, D', С и соотношение (2) для точек А, В, D, С.
126**. Фиксируем в ориентированной плоскости ось х'Ох и на этой оси — точку А с данной положительной абсциссой R. Пусть (О) — окружность радиуса R с центром О.
А. Рассмотрим еще ось Х'ОХ и две точки: M и N9 лежащие на окружности (О) и симметричные относительно этой оси. Обозначим через 0 ориентированный угол от Ox до ОХ:
0 == (Ox9 OX)9 а через ср — ориентированный угол от OX до ON:
<f = (OXt ON);
тогда
(OX, OM) = — ср.
1°. Вычислить в функции 0 и ср длины сторон треугольника AMN. Доказать, что если условие
2MN = AM + AN (1)
будет выполнено, то 0 и ср связаны или соотношением
4 cos ср — cos 0 = 3, (20
или соотношением
4 cos ср — cos 0 = — 3. (2'0
* Предполагаем, что точки A1 и A2 различны, точки и B2 также различны.
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
395
2°. Доказать, что из (20 или (2") следует (1).
Для этого сначала нужно установить, что из соотношения
I sin и I = 2 I sin VI
следует, что
sin (и -\- V) sin (и — v) ^ 0, а из соотношения
I cos и I = 2 I cos vI
следует, что
sin (и -f - г>) sin (и — v)^C 0.
_ ?
3°. Пусть С — точка оси хЮх такая, что OC = -^-, H— ее проекция
на MN, (С)— окружность с центром С, которая проходит через Л. Используя полученные выше результаты, доказать, что для выполнения соотношения (1) необходимо и достаточно, чтобы было выполнено соотношение
CH=^R, (3)
иначе говоря, чтобы MN касалась окружности (С). В. Наэов'ем треугольником (T) переменный треугольник, вписанный в окружность (О), вершина А которого фиксирована, причем выполнено все время соотношения (1).
Г, Доказать, что прямая АН, соединяющая точку А с проекцией H точки С на MN, есть биссектриса внутреннего угла А треугольника (T). Найти, если (T) меняется, геометрическое место центров / окружности, вписанной в треугольник (T), и геометрическое место центров Г окружности, вневписанной в угол А этого треугольника
/ Та T~a \
I рассмотреть отношения -= и -=- . \ IH ГН)
2°, Доказать, что, вообще говоря, существует для всякого положения треугольника (T) гипербола, проходящая через точки M и N, для которых А — фокус, а соответствующая ему директриса — прямая CH.
Найти, если (T) изменяется, геометрическое место вершин этой гиперболы и геометрическое место ее центра.
Доказать, что каждая из ее асимптот проходит через фиксированную точку.
Замечание. Части В и А можно решать независимо одну от другой (в части В использовать лишь 3°, А).
126. Из точки M окружности радиуса R выходят одновременно и движутся равномерно по окружности точки А и В со скоростями соответственно Tz1 Mjcetc и V2 Mjсек. Определить площадь треугольника MAB через / сек. после начала движения.
