Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
12. В пирамиде SABC дано: AB = AC = а, ВАС = ср. Грань SBC перпендикулярна плоскости основания ABC, а грани SBA и SCA образуют с плоскостью основания угол t. Определить объем и боковую поверхность.
13. Вычислить объем правильной треугольной пирамиды, если плоский угол при вершине равен a, a радиус окружности, описанной вокруг боковой грани, равен г.
14. В правильнрй треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а, a кратчайшее расстояние между боковым ребром и противоположной стороной основания (длина общего перпендикуляра) равно d. Определить объем этой пирамиды.
15. Через среднюю линию основания правильного тетраэдра проведена плоскость, пересекающая два боковых ребра и наклоненная к основанию под углом а. Определить отношение площади сечения к площади грани тетраэдра.
16. Грани правильной усеченной треугольной пирамиды касаются шара. Определить отношение поверхности шара к полной поверхности пирамиды, если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом а.
17. Через одно из ребер правильного тетраэдра проведена плоскость, наклоненная под углом а к противоположному (т. е. не пересекающемуся с данным ребром) ребру. Определить площадь полученного сечения, если ребро тетраэдра равно а.
18. Боковые ребра треугольной пирамиды имеют одинаковую длину, равную /. Из трех плоских углов, образованных при вершине пирамиды этими ребрами, два равны a, a третий равен ?. Найти объем пирамиды.
19**. В треугольной пирамиде SABC дано: /_ BSC = а, ? CSA = ?, / ASB = ^, SA = a, SB = b, SC=C Найти угол между скрещивающимися ребрами SA и ВС, а также кратчайшее расстояние между ними.
20. В треугольной пирамиде, основание которой — прямоугольный равнобедренный треугольник, две грани, проходящие через катеты, перпендикулярны плоскости основания, а третья составляет с плоскостью основания угол в 45°. Определить боковую поверхность пирамиды, если площадь основания равна Q.
21. Определить зависимость между углами оснований боковых граней треугольной пирамиды и доказать, что эта зависимость справедлива и для /г-уголь-ной пирамиды.
22. В правильной треугольной пирамиде между двумя боковыми ребрами дан угол а. Найти угол между боковым ребром и основанием.
23. Высота правильной треугольной пирамиды SABC равна радиусу окружности, описанной вокруг основания. Через вершину А основания проведена плоскость, параллельная стороне ВС основания и перпендикулярная боковой грани BSC. Определить угол между этой плоскостью и основанием.
24. Высота правильной треугольной пирамиды SABC равна радиусу окружности, описанной вокруг основания. Через вершину А основания проведена плоскость, параллельная стороне ВС, которая делит объем пирамиды, считая от вершины S, в отношении т : п. Определить угол между секущей плоскостью и основанием.
25. Определить объем треугольной пирамиды по ее боковым ребрам а, Ь, с и двугранным углам ?x, ?2, ?3 при этих ребрах.
26. Определить объем треугольной пирамиды по ее боковым ребрам а, Ъ, с и плоским углам а, ?, f при вершине.
27. Через ребро правильного тетраэдра проведена плоскость, делящая его объем в отношении 3:5. На какие части она делит двугранный угол?
28. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен а. Через боковое ребро проведена плоскость, делящая объем пирамиды в отношении т: п. На какие части эта плоскость делит двугранный угол между боковыми гранями?
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
403
29. Пусть SABC— правильная пирамида, основанием которой служит равносторонний треугольник, вписанный в окружность с центром О и радиусом R. Дан угол ASB = Q.
1°. Вычислить сторону основания, длину бокового ребра, апофему, высоту и боковую поверхность пирамиды для случая 0 = 60° и для случая 6 = 90°.
2°. В общем случае обозначим через а величину угла OAS. Подсчитать
в функции тригонометрических функций угла а значения sin и coso.
Выразить у = cos б через х = cos 2а. 3°. Какой график выражает найденная в 2° зависимость у от х.
30. В треугольнике ОАВ:
OA = а, OB = ft, / AOB = а.
Проведем прямую Z1Z через точку О, перпендикулярную плоскости треугольника АОВ.
1) Доказать, что для всякой точки С прямой ZrZ можно найти такую другую точку D той же прямой, что противоположные ребра тетраэдра ABCD окажутся взаимно-перпендикулярными; определить зависимость между ОС и OD. Найти геометрические места оснований высот этого тетраэдра и геометрическое место центра сферы, описанной вокруг этого тетраэдра.
2) Считая угол а острым, найти положение точек ChD, при котором объем тетраэдра достигает минимума. Вычислить этот объем и радиус сферы, описанной около тетраэдра.
П. 5. Многоугольные пирамиды
1. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно /, а плоский угол при вершине равен а.
2. Основанием четырехугольной пирамиды служит квадрат; две боковые грани этой пирамиды перпендикулярны плоскости ее основания; две другие ее боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, каждый из которых равен а. Высота пирамиды равна h. Определить боковую поверхность этой пирамиды.