Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
1°. Найти геометрическое место точек пересечения медиан треугольника ABC. -2°. Доказать, что
<р = | +с- в.
3°. Доказать, что
2 cos (В + С) = cos (В — С),
tg?tgc = i,
s = — ~ /?2 sin 2Л,
и доказать, что из каждого из этих соотношений следует два других. Доказать также, что если выполнено любое из этих соотношений, то сторона ВС проходит через середину D радиуса OA окружности, описанной вокруг треугольника ABC. 4°. Вычислить Л, В, С, если задан угол ср. 109*. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что для треугольника ABC выполнено соотношение
а* = Ь* + с*.
является условие
2 sin2 Л = tg?tgC. (1)
і
Вычислить высоту этого треугольника, опущенную из вершины Л, в функции радиуса описанной окружности и расстояния от центра этоЛ окружности до стороны ВС. 110*. Решить треугольник ABC, зная его сторону • ВС = а, медиану т, исходящую из вершины В, и произведение k = CA-CD, где D—: основание перпендикуляра, опущенного из В на АС. Провести исследование возможных значений k, считая, что т = ~а.
111*. Пусть О — центр тригонометрического круга (радиуса 1), АгОА и В'ОВ — два его взаимно-перпендикулярных диаметра, которые мы примем соответственно за оси Ox и Oy. Пусть M— произвольная точка тригонометрического круга. Обозначим через и угол от оси Ox до луча ОМ,
390 Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
U = (OA1 OM) (значения этого угла для точек Л, B1 А' и В' соответ-
Tt Зтс \ *
ственно таковы: 0, тг и -^Л> Пусть P — проекция точки M на ось Ox9
a Q — проекция точки M на ось Oy1 H — проекция точки M на прямую PQ. Продолжим прямую HM в обе стороны и отложим на ней в обе стороны от точки M ^отрезки т'М и Mm1 длина каждого из которых равна радиусу тригонометрического круга, т. е. 1. Отрезок Mm отложим в направлении от H к M1 отрезок Mm' — в противоположном направлении.
1°. Предполагая, что точка M находится на дуге AB первого квадранта, выразить в функции sin« и cos« координаты X1 у точек т и т'. Определить геометрическое место точек т и тг при условии, что точка M описывает дугу AB. Каково будет геометрическое место этих точек, если точка M опишет всю окружность. Будем считать теперь во всем последующем, что точка M находится на дуге AB1 расположенной в первом квадранте.
2°. Определить положение точки M при условии, что площадь треугольника Отт' равна ~. Пусть отрезок Mm вращается вокруг оси Ox и вокруг оси Oy. Выразить поверхности s и s' вращения в функции sin« и cos«; полагая tga = X, -у—Y1 выразить Y в функции от X (X—считать положительным). Определить точку M1 если К = 31/3 —4.
3°. На перпендикуляре к плоскости хОу, проходящем через точку M1 взята точка Т. Определить MT при условии, что площади треугольников mPQ и TPQ равны между собой. Установить связь длин От и MT.
112. (С) — окружность радиуса R с центром О; (С) — окружность радиуса у
с центром A1 лежащим на окружности (С). Обозначим через M и N точки пересечения окружностей (С) и (С). Выразить приближенно угол MON (в радианах). 113**. Рассмотрим треугольник ABC.
1°. Доказать, что каждое из трех следующих соотношений влечет за собою выполнение двух других:
A = 2C1 (1)
a* = (ft+ с) с, (2)
b = Ac cos (ЗО0 + cos (ЗО0 — ^. (3)
Построить с помощью циркуля и линейки треугольник, обладающий указанным свойством*, зная, кроме того, длину а стороны ВС и зная, что Д ABC или равнобедренный или прямоугольный. 2°. а) Доказать, что во всяком треугольнике ABC длина биссектрисы внутреннего угла А равна
a sin В sin С sin (sin С + sin В)
б) В треугольнике ABC даны сторона а, длина I биссектрисы внутреннего угла А и известно, что А = 2С. Вычислить угол С этого треугольника, а затем и другие его углы. Как следует выбрать / и а, чтобы треугольник существовал?
в) Построить геометрически этот треугольник и получить геометрически результаты предыдущего исследования.
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
391
114**. Будем рассматривать треугольники (T)1 утлы которых удовлетворяют условию
ctgA = 2 (ctg ?+ ctg С). (1)
1°. Вычислить стороны Ь и с этого треугольника (Г), если заданы сторона ВС = а и угол А. Провести исследование. 2°. Доказать, что равенство (1) выражает необходимое и достаточное условие того, что в треугольнике ABC медианы, выходящие из вершин Б и С, взаимно перпендикулярны. Построить треугольник (T)1 если даны его вершины B9 С и угол А; исследовать. 3°. Пусть даны две взаимно перпендикулярные оси: Ox и Oy. Рассмотрим все треугольники (T)1 вершина А которых расположена на оси Oy1 а сторона BC1 имеющая данную длину а, лежит на оси Ох. Найти геометрическое место центров тяжести этих треугольников. 115*. Доказать, что перпендикуляр, опущенный из вершины А треугольника ABC на прямую, соединяющую центры / и О вписанной и описанной окружностей, пересекает ВС в точке M такой, что разность радиусов окружностей, описанных около треугольников ABM и ACM1 равна 01. 116**. В . треугольнике ABC дана длина а стороны ВС и известно, что AB = 2АС.
1°. Дан еше угол А. Вычислить стороны AB и АС. Показать, что треугольник ABC всегда существует, каков бы ни был угол А (0< А< 180е).
