Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть Й — ультразамкнутый абстрактный класс алгебр сигнатуры Q и Sf1 - ультразамкнутый абстрактный класс алгебраических систем сигнатуры Q1 з Q. В частности, классы й, Йі могут быть аксиоматизируемыми. Проблема вложения Я-алгебр в Я^-системы состоит в нахождении условий, которым должны удовлетворять те Я-алгебры, которые могут быть вложены в некоторую Йі-систему. Теорема 6 утверждает, что эти условия заведомо могут быть представлены в виде V-формул. Но всякая V-фор-мула сигнатуры Q есть конъюнкция формул, имеющих одну из следующих форм:
а) (Vz1... Xn) (Fi Ф G1V-.. \JFm Ф Gn),
б) (Vz1 ... Xn) (Fi = Gi),
14* 212 произведения й полные классы егл. itf
в) (Vx1 .. . хп) (Fi = G1 & ... & Fm = Gm /V1 = Gm+1),
г) (Vx1... хп) (Fl = Gik...&Fm = Gm~+
—> -Fm+i = GmJri\J ... \/Fs = Gs),
где Z11, G1, . . ., Fs, Gs — некоторые термы сигнатуры ?2 от переменных x1, . . ., хп. Поэтому ответ принципиально всегда может быть представлен в виде формул типов а) — г), истинность которых в Я-алгебре Я и является необходимым и достаточным условием вложимости Я в подходящую Яі-систему. Конечно, зная форму ответа, надо в каждом конкретном случае фактически указать искомые формулы и исследовать их взаимную зависимость.
В качестве известного примера укажем проблему вложимости ассоциативных колец в ассоциативные тела, т. е. в ассоциативные кольца, удовлетворяющие аксиоме
(Эх) (х ф 0) & (Va) (а Ф 0 (Vb) (3ху) (ах = уа= Ъ)) *). (1)
Ясно, что кольца, вложимые в тела, не имеют делителей нуля (п. 4.1), и потому можно искать условия вложимости колец без делителей нуля (класс Я) в ассоциативные тела (класс H11). Оба класса аксиоматизируемы, и потому класс S вложимых колец должен характеризоваться внутри Я аксиомами вида а) — г). Одноэлементное кольцо формально удовлетворяет аксиоме (1), и потому оно принадлежит классу й. Но на одноэлементном кольце формулы вида а) ложны. Таким образом, искомые условия должны иметь вид б) —- г).
Поскольку в классе S кольца не имеют делителей нуля, то в этом классе формула Fm+i = Gm+l \f . . . . . . V Fs = Gs равносильна формуле
(^Vh— GmJri) ... (Fs — Gs) = 0,
т. е. формулы вида г) можно привести к виду в). Формулы вида б) можно заменить равносильными формулами
x1 = Xi —^ Fi = G1,
*) См. примеры и дополнения к I 4. § 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ' 213
имеющими также вид в). Тем самым показано, что условия вложимости колец без делителей нуля в тела можно представить в виде набора условий вида
= . ..&Ф8^0->Ф = 0, (2)
где Фі, . . ., Ф51 Ф — какие-то многочлены от (некоммутативных) переменных хи . . ., хп.
Согласно классической теореме теории колец каждое коммутативное ассоциативное кольцо без делителей нуля вложимо в поле. В 1937 г. также было показано (Мальцев [33]), что существуют ассоциативные некоммутативные кольца без делителей нуля, не вложймые в ассоциативные тела. В настоящее время известен ряд условий типа (2), необходимых для вложимости. Известны условия и достаточные для вложимости. Однако необходимые и достаточные условия пока в явном виде неизвестны. В частности, неизвестно, будут ли эти условия выражаться конечной системой формул вида (2).
8.4. Условно фильтрующиеся формулы. Согласно п. 7.5 закрытая формула 1-й ступени Jh сигнатуры й называется мультипликативно устойчивой, если из истинности Jh на алгебраических системах Sfct (а ? I) сигнатуры Q вытекает истинность Jh и в декартовом произведении [J Иа. Сравнивая понятие мультипликативной устойчивости с понятием условной фильтруемости, введенным в п. 8.2, непосредственно видим, что из условной фильтруемости закрытой формулы вытекает ее мультипликативная устойчивость.
В п. 7.5 уже отмечалось, что свойством мультипликативной устойчивости обладают тождества и условпые тождества. Вопрос о нахождении общего вида формул, обладающих мультипликативной устойчивостью, в окончательной форме, по-видимому, до сих пор не решен. Однако еще в 1951 г. X о р н [71] указал один простой класс мультипликативно устойчивых формул, привлекших внимание многих исследователей и получивших наименование формул хорновского вида или формул Хорна. Эти формулы были рассмотрены в п. 7.5. Приведем определение их в следующей форме.
Формула А со свободными предметными переменными хи ..., хт называется хорновской, если она имеет 214
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
ВИД
(QlXmbl) ¦ ¦ • (Qn-nPn) (А,&...& As) (Qi = V, В), (1)
где каждый член Ax есть или дизъюнкция
n S5I1Vi ^ezV- •• Vis**,
или импликация вида
S5Jl & ^i2 &.. .
построенная из формул ^ij, имеющих или вид / — g, или вид R (/i> ft) (R 6 й; /, g, Ii, ..., ft — некоторые термы OT^r1, ..., ж„).
Упомянутые в п. 7.5 тождества и условные тождества являются формулами хорновского вида. Ясно также, что конъюнкция хорновских формул эквивалентна хорнов-ской формуле. В частности, условие, что предикат R (хи ..., хп, ж) есть функция, записывается формулой
(Vx1 . .. xnyz) (їх) (R (Xi, ..., хп, х) &
& (R (xlt ..., хп, у) &R (xt, ...,хп, z) > у = г)),
