Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если пересечение всех множеств заданного фильтра D пусто, например, если D — фильтр Фреше, то каждый содержащий D ультрафильтр также будет неглавным и потому над каждым бесконечным множеством существуют неглавные ультрафильтры.
Приведенное доказательство существования неглавных ультрафильтров опирается на лемму Цорна, т. е. на аксиому выбора. Без помощи аксиомы выбора никаких неглавных ультрафильтров даже над множеством натуральных чисел до сих пор не построено. Легко показывается, что утверждение о расширяемости каждого фильтра до ультрафильтра эквивалентно аксиоме выбора.
Удобный признак максимальности фильтра дает
Теорема 4. Фильтр D над множеством I тогда и только тогда является ультрафильтром, когда любое подмножество A^I либо само принадлежит D, либо дополнение А принадлежит D.
В самом деле, пусть фильтр D обладает указанным свойством и, вопреки утверждению теоремы, содержится в некотором большем фильтре D1. Пусть A Q D1, AQD. По условию из AQD следует А' ? D, где А'~ дополни- § 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ' 197
ние А. Таким образом, A ^Di, A1^Di и потому A f)A' = 0 6 Di, что противоречит требованию iii).
Обратно, пусть D — ультрафильтр над I и
AQD, A' QD (A=I).
Если для некоторого X^D А (]Х = 0, то Х<=,А' и A' ?D. Поэтому А [\Х Ф 0 для любого X ? D и, значит, A f| X1 f| • • • П %т Ф 0 Ддя произвольных X1, . . ., Х^из D. Мы видим, что совокупность 2, состоящая из множества А и всех множеств фильтра D, удовлетворяет условиям теоремы 2 и потому содержится в подходящем фильтре Di. Но D — ультрафильтр, т. е. он не может содержаться ни в каком большем фильтре Di, что и требовалось.
8.2. Ультрапроизведения. Пусть каждому элементу а какого-то множества I поставлена в соответствие некоторая алгебраическая система SIa = {А а, Q) фиксированной сигнатуры й. Элементами декартова произведения
M = UAa (OitI)
носителей Aa указанных систем являются функции /, определенные на I1 значения которых удовлетворяют условию / (а) ? Aa. Вместо / (а) будем писать /а и будем-/а называть проекцией элемента / на сомножитель Aa-
Пусть D — какой-нибудь фильтр над I. Вводим на M бинарное отношение =?, полагая по определению
t^Dg<=>{aai\f* = g*}eD (/, ge М). (1)
Если f=Dg, то говорят, что f эквивалентен g по фильтру D.
Из определения (1) видно, что отношение =D симметрично. Так как f =d f, то отношение =D рефлексивно. Покажем, что оно и транзитивно. Пусть f=Dg, g=Dh, и потому наряду с правой частью (1) истинно и соотношение
{a?l\ga = ha}?D.
Так как
{а I /а = йа} э {а I /и = ga} П {а [ ga = ha} ? D, 198
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
ТО
/ =D h.
Итак, отношение есть отношение эквивалентности на множестве М, и мы можем образовать фактор-множество A = MI=D, которое называется редуцированным по D или фильтрованным по D произведением множеств Aa и обозначается символически через J^AaID (a QI). Символом fD (/ Q М) обозначается класс элементов из М, эквивалентных / по D.
Мы хотим теперь определить на множестве A = MI=S0 алгебраическую систему сигнатуры Q. Пусть R— какой-то m-арный предикатный символ из Q. По определению полагаем
R(fiD, fmD) = H<^{a\R(ft, ...,fl)=H)QD. (2)
Истинностное значение R (ftD, ...,fmD),^ определенное формулой (2), не зависит от выбора представителей /і, .. ., /ш в классах J1D, ..., fmD. Действительно, если
EiQfiD (г = 1.....т), R (UD, ..., fmD) = И,
то
/Д{а| gf = ft}QD.
Но
{а|Л(??, ..= =
= /,П... П/тП{а|ії(/і, .... im) = H) QD,
поэтому совокупность {а|R (gl, ..., gm) — И) принадлежит фильтру D и, следовательно, R^1D, ...,gmD)=H.
Если F есть в-арный функциональный символ из й, то в соответствии с условием (2) полагаем
FUiD, ...,UD) = fD<=>{a I F (/?.....fi) = f}QD. (3)
Как и в случае предикатного символа R, легко убеждаемся, что соотношение (3) задает на J^AJD всюду определенную и однозначную функцию F.
Определения (2), (3) превращают фильтрованное произведение А — [] AjD в алгебраическую систему {A, Q), § 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ' 199
называемую редуцированным или фильтрованным по фильтру D произведением последовательности систем SIa (а ? /) и обозначаемую символически одним из следующих способов:
П StccAD, ПЯсЛ) (ссе/), ПKJD.
а er
Системы SIa называются сомножителями фильтрованного произведения. Если все SIa совпадают с фиксированной системой Si, то фильтрованное произведение [JSIa/.D называют 1-й степенью системы Si, фильтрованной по фильтру D, и обозначают через St 1ID.
Рели фильтр (I, D) состоит лишь из самого множества I, то фильтрованное произведение [JStaAD (а ? Г) совпадает с декар.товым произведением Q (a G I) систем SIa (а 6I), определенным в п. 2.5. Более подробные сведения о поведении фильтрованных произведений при меняющихся фильтрах и сомножителях дают следующие простейшие теоремы.
Теорема 1. Если D, D1- фильтры над одним и тем же множеством IuD^Dl, то каноническое отображение
г. fD —»/D1 (/6 [[««) (4)
является гомоморфизмом [JSIa/D на [J SlaADi-
