Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь произвольную формулу 1-й ступени 5J3 (Ri, f , ,, Rs] Xu . . ., хп), свободные предметные пере- § 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ' 203
менные которой содержатся среди переменных X1, . . ., Xn, а предикатные (и функциональные) переменные суть Ri, . . ., Rs. Пусть значения Ri, . . ., Rs в системах St, SIct (а ? I) каким-то образом уже определены. Тогда указанная формула будет определять в каждой системе 21, SIcc (а 6 /) свой п-арный предикат
R (Xi, ..., хп) •= (Ru •' •, Rs', Xi, ..., хп),
который может быть фильтрующимся или не фильтрующимся в фильтре D в зависимости от вида формулы 5J5 и характера первоначально заданных предикатов Ri, . . . . . ., Rs, которые также могут задаваться некоторыми формулами.
Нижеследующие леммы устанавливают эту зависимость в ряде простейших случаев.
Лемма 6. Если J(xu . . ., хп), J?(xt, . . ., хп) — формулы, определяющие условно фильтрующиеся предикаты (на некотором фильтре D), то формулы
(VXi)J:, (Ixi)J, J&&
определяют предикаты, также условно фильтрующиеся на фильтре D.
Фиксируем какие-нибудь значения длях2, ...,Xn в M и далее не будем явно писать их в формулах. Пусть
{a !(Vx1) J = И) (9)
ula
Берем в M произвольное значение а для Xi. Из (9) вытекает, что
(a I (Vx1) J = И) s {а I J <а«) =#} 6 D.
«1а *1а
Так как предикат Л условно фильтрующийся, то из (9) вытекает истинность J (а) на М, и потому формула (Vx1)J истинна на М.
Условная фильтруемость формул (Bxi)J и J $ доказывается аналогично.
Лемма 7. Если J (xt, ..., хп), (xt, ...,хп) — формулы, определяющие фильтрующиеся предикаты, то формулы J & 38, (Bxi)J также определяют фильтрующиеся предикаты. 204 ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
Условная фильтруемость указанных предикатов уже установлена. Далее имеем
А & 98 = (J = И и ^ = И)
{a\A=H)QD и {а I #=A}6Df
отсюда
5ЦЯ «1<* Иа
и потому —фильтрующаяся формула. Фильтруе-
мость формулы (Sx1) Jb устанавливается аналогично.
Лемма 8. Если формула Jb (X1, ...,хп) определяет предикат, фильтрующийся на улътафилътре D, то формула H Jb также определяет предикат, фильтрующийся на D.
Так как для любого подмножества M^I
MQD<^M' QlD (М' = І\М),
то
{«I H Jk = H)QD<?>{0L\J> = H}§D<=>-] Л = И.
ЗІсь ^ct Ш
Из лемм 7 и 8 непосредственно вытекает основная
Теорема 9. Пусть Л (R1, . . ., Rs; X1, . . ., хп) — произвольная формула 1-й ступени, где R1, . . ., Rs — предикатные и X1, . . ., хп — предметные символы, встречающиеся в этой формуле. Если R1, . . ., Rs — фильтрующиеся предикаты в некотором ультрафильтре D, то предикат, определяемый формулой Jh, также фильтрующийся в D.
В самом деле, формула Jb равносильна формуле, получающейся из атомарных формул Ri (Xil, . , ., Xiv) при помощи операций &, 3, П. По условию атомарные формулы определяют предикаты, которые фильтруются в D. Согласно леммам 7 и 8, операции &, З, "1, примененные к предикатам, фильтрующимся в ультрафильтре D, дают предикаты, фильтрующиеся в D. Поэтому формула]^ определяет предикат, фильтрующийся в D.
Выше отмечалось, что в фильтрованных произведениях алгебраических систем заданной сигнатуры iQ^Bce сигна- § 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ' 205
турные предикаты и операции являются фильтрующимися. Поэтому из теоремы 7 непосредственно получаем
Следствие 10. Пусть А . . хп) — произвольная формула 1-й ступени со свободными предметными переменными Xi, . . хп, имеющая заданную сигнатуру Q, (I, D) — произвольный ультрафильтр и а ->- 21а — отображение I в класс алгебраических систем сигнатуры ?2. Тогда для любых ai} . . ., ап из JJ Stct имеем
H = AiaiD.....anD)<^{a\A(aai, ..., aan)=H}?D.
В частности, закрытая; формула А сигнатуры ?3 тогда и только тогда истинна на фильтрованном по ультрафильтру {/, D) произведении алгебраических систем 21 а (а ? /), когда совокупность номеров сомножителей, в которых истинна формула А, принадлежит ультрафильтру D, т. е.
A = H<^{a\A~H)tD (2Г=[]Яа/Д). <Ю) «і
Произведения систем, фильтрованные по ультрафильтру, называются ультрапроизведениями. Если над множеством I задан какой-то фильтр D, то все множества, принадлежащие фильтру, часто называют «большими» (относительно D) или содержащими почти все элементы множества I. С помощью этой терминологии формулу (10) можно высказать в виде такого утверждения: замкнутая формула 1-й ступени тогда и только тогда истинна на ультрапроизведении, когда она истинна в почти всех сомножителях.
В частности, если замкнутая формула 1-й ступени истинна в каждой алгебраической системе 21а (а g /), то она истинна и в любом ультрапроизведении этих систем.
Например, согласно п. 3.3, группой называется алгебраическая система сигнатуры {•, _1}, в которой истинна формула
(>fxyz) ix iyz) = (ху) z&x іуу1) = X & іу-1 у) X = х).
На основании следствия 10 заключаем, что каждое ультрапроизведение групп есть группа.
Свойство группы быть абелевой также выражается формулой 1-й ступени: (Vxy) іху = ух). Поэтому ультра-произведение абелевых групп есть абелева группа. 206
