Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
Группа называется полной, если в ней истинны формулы (Vx) (3у){уп = х) (л = 2, 3, ...)• (И)
Следовательно, ультрапроизведение полных групп есть полная группа.
Обозначим через Zv циклическую группу простого порядка Pi (і = 0, 1, 2, . . .; Jj0 = 2, pt = 3, . . .), и пусть D — какой-нибудь неглавный ультрафильтр над множеством N всех натуральных чисел. Попробуем выяснить строение группы
<ё =WZvJD.
Прежде всего, Zpl — абелевы группы и порядки их растут неограниченно. В силу следствия 10 и теоремы 3 из п. 8.5 @ — бесконечная абелева группа, имеющая мощность континуума. Формула
(Vx) (xn+1 = X —> X. — XX-1) (п > 1) истинна во всех сомножителях, начиная с Zpn- Поэтому она истинна и на (§, т. е. & не содержит элементов конечного порядка. Аналогично формула (11) для каждого п~>- 1 истинна на всех сомножителях, начиная с Zb -Поэтому она истинна и на <Э, т. е. группа @ полная.
Подгруппа декартова произведения [J ®а групп состоящая из элементов g, у которых лишь конечное число проекций gna отлично от единицы, называется прямым произведением заданных групп. Согласно очевидной теореме теории абелевых групп всякая полная абелева группа без элементов конечного порядка изоморфна прямому произведению надлежащего числа групп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел. Таким образом, интересующая нас группа изоморфна прямому произведению континуума копий. аддитивной группы рациональных чисел.
Класс Я алгебраических систем сигнатуры Q называется аксиоматизируемым (конечно аксиоматизируемым), если существует такая совокупность @ (соответственно конечная совокупность замкнутых формул ПИП сигнатуры О, что Я состоит из тех и только тех алгебраических систем сигнатуры Q, на которых истинны все формулы из <& (ср. п. 6.4). § 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ' 207
Говорят, что класс Я алгебраических систем сигнатуры ? замкнут относительно улътрапроизведений (кратко, улътразамкнут), если для каждого множества I, каждого ультрафильтра D на множестве I и каждых алгебраических систем STj (г ?/), выбранных из класса Я, ультрапроизведение [] SIi/!) (і ? I) принадлежит классу Я.
Класс Я систем сигнатуры й называется абстрактным, если с каждой системой SI класс Я содержит и все изоморфные ей системы сигнатуры Q.
Из теоремы 1 п. 6.3 следует, что всякий аксиоматизируемый класс систем является абстрактным. Из следствия
10 получаем, что всякий аксиоматизируемый класс является также улътразамкнутым.
8.3. Некоторые применения ультрапроизведений. В качестве первого применения развитой выше теории ультрапроизведений докажем следующую важную теорему.
Теорема 1 (теорема компактности или локальная теорема языка 1-й ступени). Если выполнима каждая конечная часть бесконечной совокупности @ закрытых формул 1-й ступени какой-то сигнатуры Q, то выполнима и вся совокупность (?.
Совокупность закрытых формул данной сигнатуры Q называется выполнимой, если существует алгебраическая система сигнатуры Q, в которой истинна каждая формула указанной совокупности. Обозначим через / множество всех конечных непустых частей совокупности Через Фа (а ? I) обозначим конъюнкцию всех формул, принадлежащих а. По условию для каждого а 6 / существует алгебраическая система SJlcc сигнатуры Q, в которой истинна формула Фа. Вводим подмножества I^ = = {«ЄЛФЕ = #}.
Так как пересечение Jg П • • • П Ii равно
{сс|Ф6&... &Фе = #} = /ш...ис^0,
Ял а
то по теореме 3 п. 8.1 совокупность подмножеств вида
11 можно дополнить до некоторого ультрафильтра D над I. Рассмотрим ультрапроизведение
S?=[[3tt«/# (а Є/). 208
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
Согласно следствию 10 из предыдущего пункта
Таким образом, все формулы Фа, a потому и все формулы из истинны в ЗЛ, и, следовательно, совокупность <& выполнима.
Для конечной или счетной сигнатуры теорема 1 вытекает из теоремы полноты Геделя. Независимое доказательство для произвольной сигнатуры было указано в статье Мальцева 132], где была отмечена и возможность использования общей теоремы компактности для получения конкретных алгебраических фактов. Эта программа получила развитие в заметке Мальцева [36], где при помощи теоремы компактности были решены некоторые проблемы из общей теории групп, интересовавшие в то время специалистов в указанной области. Другие важные применения были найдены А. Робинсоном (см. [57]) и рядом других авторов.
В п. 7.2 рассматривались признаки универсальной аксиоматизируемости классов алгебраических систем. Теория ультрапроизведений позволяет дать признаки иной формы. Основанием их является
; Теорема 2. Если каждое конечное обеднение (Ла, Qp) каждой конечной подмодели (Aa, Q) некоторой алгебраической системы її = (4, ?2) вложимо в подходящую систему ЯЛав = (Ma?, Q), то ?! вложима в подходящее улът-рапроизведение систем SOfI0Sg.
: Обозначим через fag изоморфное отображение модели (A0., Qg) В систему ЗЛаВ, существующее в силу условий теоремы. Утверждение теоремы 2 нетривиально лишь в случае, когда А или Q бесконечна, что мы и будем предполагать. Обозначим через I совокупность всех подмоделей 2Iap = (Аа, Qg) и введем подсовокупности
