Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
iii) пустое подмножество 0 не принадлежит D.
Из условий i), ii) непосредственно вытекает, что пересечение любого конечного числа множеств, принадлежащих
13 А. И. Мальцев194
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
фильтру, принадлежит этому же фильтру и что базисное множество I принадлежит каждому фильтру над I. В дальнейшем фильтр D над I будет обозначаться либо одной буквой D, либо парой (I, D).
Совокупность всех надмножеств какого-нибудь фиксированного непустого множества M^I, очевидно, удовлетворяет требованиям i), ii), iii) и поэтому является фильтром. В частности, фильтром является само множество I, взятое в отдельности. Фильтры этого вида называются главными. Остальные фильтры называются неглавными. Ясно, что фильтр F тогда и только тогда главный, когда F содержит пересечение всех своих множеств.
Поскольку конечное множество имеет лишь конечное число подмножеств, а пересечение конечного числа подмножеств из фильтра принадлежит фильтру, то все фильтры над конечным множеством I являются главными.
Над каждым бесконечным множеством I существуют неглавные фильтры. Простейшие из них называются фильтрами Фреше и строятся следующим образом. Пусть п — какая-нибудь бесконечная мощность, не превосходящая мощности I I |. Обозначим через Dn совокупность всех тех подмножеств множества /, мощность дополнений которых строго меньше ti. Из результатов п. 2.6 непосредственно вытекает, что совокупность Dn удовлетворяет условиям i), ii), iii), и потому Dn — фильтр над I. Множества вида /\{а} (а ? Г) принадлежат Dn. Пересечение всех этих множеств, а следовательно, и пересечение вообще всех множеств из Dn пусто. Поэтому Dn—неглавный фильтр.
Например, над множеством всех натуральных чисел единственным фильтром Фреше будет совокупность всех подмножеств, имеющих конечное дополнение. Над совокупностью С всех вещественных чисел фильтрами Фреше будут совокупность всех подмножеств, имеющих конечное дополнение, и совокупность всех подмножеств, дополнение которых конечно или счетно. Первый из этих фильтров есть часть второго. Если принимается гипотеза континуума (п. 2.6), то других фильтров Фреше над С нет.
Примером неглавного фильтра, не являющегося фильтром Фреше, может служить совокупность множеств§ 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 195
натуральных чисел, дополнение которых содержит лишь конечное число четных чисел, а также совокупность множеств рациональных чисел, каждое из которых содержит все рациональные числа подходящего интервала, содержащего фиксированное иррациональное число 9. Последний фильтр рассматривается как фильтр над множеством рациональных чисел.
В соответствии с п. 2.6 через 2J обозначим совокупность всех подмножеств множества I. Фильтры — это подмножества множества 21, удовлетворяющие специальным требованиям і), ii), iii). Семейство всех фильтров над / частично упорядочено относительно включения. Нижеследующие теоремы выражают простейшие свойства этого семейства.
Теорема 1. Пересечение любого непустого семейства фильтров над I есть фильтр над I. Объединение фильтров над I, образующих упорядоченную по включению цепочку, есть фильтр над I.
Доказательства очевидны.
Теорема 2. Для того чтобы какая-то совокупность 2 подмножеств множества I была частью некоторого фильтра над I, необходимо и достаточно, чтобы пересечение любого конечного числа подмножеств из 2 было не пусто.
Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Пусть пересечение конечного числа любых множеств из 2 не пусто. Обозначим через D совокупность всех тех подмножеств множества I, каждое из которых содержит пересечение конечного числа каких-то множеств совокупности 2. Так как эти пересечения по условию не пусты, то D не содержит 0. Далее, если подмножество A^I содержит пересечение A1 П-- - ГМт каких-то множеств из 2 и подмножество J? є / содержит пересечение B1 П . . . П Bn каких-то множеств из 2, то A f\B содержит пересечение ^1Pl - • . П m П B1 П . . . . . . П Bn я потому принадлежит совокупности D. Таким образом, совокупность D удовлетворяет требованиям і), iii). Ясно, что D удовлетворяет и требованию ii) и потому D является искомым фильтром, содержащим 2.
Максимальные фильтры, т. е. не лежащие ни в каком другом фильтре над"/, называются ультрафильтрами над/.
14*196
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
Ясно, что среди главных фильтров над I ультрафильтрами являются лишь совокупности всех подмножеств, содержащих какой-то фиксированный элемент а 6 /. Существование неглавных ультрафильтров над бесконечными множествами вытекает из следующего предложения.
Теорема 3. Для того чтобы какая-то совокупность 2 подмножеств множества I содержалась в некотором ультрафильтре над I, необходимо и достаточно, чтобы пересечение любого конечного числа подмножеств из 2 было не пусто. В частности, каждый фильтр над I содержится в некотором ультрафильтре над I.
В доказательстве нуждается лишь достаточность условий. Пусть пересечение конечного числа любых подмножеств, принадлежащих совокупности 2, не пусто. По теореме 2, 2 содержится в каком-то фильтре D над I. Так как объединение фильтров, образующих цепь, есть фильтр, то, согласно лемме Цорна (п. 1.5), каждый фильтр, в том числе и D, содержится в подходящем максимальном фильтре, т. е. в подходящем ультрафильтре.