Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Допустим, что фильтр D задан над счетным множеством I и каждое множество, имеющее конечное дополнение, принадлежит D. Тогда D не может быть счетно полным. Действительно, выбрасывая из I по одному элементу, получим счетное число множеств, принадлежащих фильтру, пересечение которых пусто. Если бы фильтр D был счетно полным, то он содержал бы пустое множество, что невозможно.
Каждый неглавный ультрафильтр содержит все множества, имеющие конечное дополнение. Поэтому, в частности, не существует счетно полных неглавных ультрафильтров над счетными множествами.
Теорема 3. Пусть в улътрапроизведении [JSIaVZ) {а ? I), имеющем не главный и не счетно полный ультрафильтр D, для каждого натурального п
{а||Яв| = »НА (4) § 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ' 221
Тогда мощность указанного ультрапроизведения не меньше 2х», т. е. не меньше мощности континуума.
В частности, если все сомножители конечны или счетны, I ¦— совокупность натуральных чисел, D — неглавный ультрафильтр над I и условие (4) выполнено, то мощность ультрапроизведения [] ^.JD равна 2К°.
Доказательство мы проведем с помощью следующей леммы, имеющей и некоторый самостоятельный интерес. Другие доказательства изложены в статье Ф р е й н а, Морел и Скотта [66] и в книге Кона [23].
Лемма 4. Рассмотрим совокупность предикатных унарных символов Pa (a?Q), индексами которых служат всевозможные последовательности о = (O1, G2, . . ., Gm, . . .), О; 6 {0, 1}. Рассмотрим систему <& всех формул вида
(3 х) Ра(х), (5)
(3«! . . . Xn) (Xi ф Xz & Xi ф X3 & . . . & Xn^i Ф Xn) —>
(Vx) ("1Ря HVn Pil(X)) ' (6) (п = 2т; (Xi, ..., Xm) Ф <ц4, .. ., цт); т = 1, 2, ...).
Каждая бесконечная модель ЭД1 для этой системы содержит подмодель мощности 2Ко. Для каждого натурального 1 существует модель SJls для (g, содержащая 23 элементов.
Первое утверждение очевидно, так как, согласно аксиомам (5), для каждого a 6 Q существует аа ? ЯЗЇ, для которого Pa (аа) = И. Так как имеет бесконечно много элементов, то для ^ =T^ [д. имеем ах Ф и потому система {аа | о 6 Q} является подмоделью мощности
Пусть s — полояштельное натуральное число. Обозначим через Ms множество всех последовательностей
? = (?l5 ?2, ..., ?s> (?i 6{0, 1}).
Для ? 6 Ms, a f Q полагаем Pa (?) = И, если ? является начальным отрезком последовательности а, и полагаем Р„ (?) = Л в противном случае. Получившуюся модель (Ms, обозначим через SJls. Число ее элементов равно 23. Аксиомы (5) в SJls истинны: в качестве х следует взять начальный отрезок [a]s длины s последовательности о. Аксиомы вида (6), у которых т > s, истинны в SKs, 222
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
так как в SCfts посылка импликации (6) ложна. Аксиомы вида (6), у которых т s, истинны в Sft^, так как истинность Px (X), Pll (х) для некоторого X Є Ms влечет M6 = — IpJs = х, что противоречит предположению Mm ф Ф [[Alm-
Итак, система <5 имеет модели SR1, Wc2, . . . неограниченно больших конечных порядков, имеет модели континуальной и любой большей мощностей и не имеет моделей счетной мощности (и других бесконечных мощностей, меньших 2х", если такие существуют).
Возвратимся теперь к доказательству теоремы 3. Пусть
{aI |««|>»„W.
Так как D — ультрафильтр, то либо ? D, либо J ^D. В силу теоремы 2 из п. 8.2 мы можем ограничиться рассмотрением случаев i) J' = I, ii) J=I.
Случай і). Все сомножители Stcc конечны, и мощности их не ограничены сверху. В сомножителях Stoc, число элементов которых лежит в границах 23 ^ | SI0, | < 23+1, выбираем подмножество SSa, содержащее точно 2і элементов, и на 95а определяем предикаты Pa из леммы 4 так, чтобы SSa стало моделью, изоморфной модели SJlst упомянутой в лемме 4. Так как на каждом сомножителе 95а из ультрапроизведения
= («ЄЛ
все аксиомы системы © истинны, то система @ истинна и на 95. Берем какую-нибудь формулу As вида (1), у которой n — 2s. Так как
{а\Аа = И} = {а\ |Sta[>2s}6D,
»a
то As истинна на 95, т. е. 95 — бесконечная модель для системы (§>. Согласно лемме 4 отсюда следует, что |®|>2*о и, значит, [ [J SIaAD | > 2N°.
Случай ii). Все сомножители SIa бесконечные. По условию фильтр D не счетно полный. Это означает, что в D существуют множества Ui (і —1, 2, ...), пересечение которых U = (I Ui не принадлежит D. Рассматривая вместо множеств U і пересечения ^П^гП-'-П^г и оставляя из них только отличные друг от друга, получим § 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ' 223
убывающую последовательность
(V,ei>, V =
Обозначим через D0 ультрафильтр, образованный пересечениями множества V ? D с множествами из D. Полагая Vi \ V = Wt, будем иметь
П Ив/Я^IlSWA, (ЯЄ7').
а?/
W0 = V' ^W1 => w2=>... (WiED0, П Wi = 0).
В каждой системе И я, индекс Я которой принадлежит разности Ws \ Ws+i (s = О, I1 . . .), выбираем подмножество 35?,, содержащее 2s элементов, и в ?5?, определяем предикаты P0 из леммы 4 так, чтобы на 85?, была истинна система <3. Поскольку в каждой модели 35?, все формулы из © истинны, то © истинна и на ультрапроизведении
Остается убедиться, что модель ? бесконечна. Рассматриваем снова аксиому Ja вида (1), где /г= 2s. Так как
