Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
І6ч = {Яав|Л6д=Лі&Оч = Ов).
Ясно, что пересечение всех подсовокупностей пусто, a каждое конечное пересечение Zgliu f] ... П Asns не пусто, так как оно совпадает с I^, где
Ai=IjAh, Qti= U^rij- § 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ' 209
Дополним систему подсовокупностей /|Т| до какого-нибудь ультрафильтра D над I и рассмотрим ультрапроизведение
Выделим в И SQftu? произвольную последовательность {dt 1 г 6 /} и для любого а ? Sl обозначим через а* последовательность {а11 і Є /}, где
^afj _ I fa? (а) (а Є Aa), da? (а $ Aa).
Покажем, что отображение a ^ а* является вложением St в SJl. Мы можем предполагать, что знак равенства включен в Q. Пусть P—какой-нибудь тг-арный предикатный символ из Q и аь ..., йп—произвольные элементы из St. Полагаем A^ = {а^ ...,ап}, J^ = (P). Тогда, если P (oj, ....,«„) истинно в Sf, то
{і?І\Р(а\, ..., а1)=И)^1ы,
и потому P (а\, ..., at) = И в Ж. Если же P .. ., ап) ложно в St, то
{і?І\Р(а\, ..., аі) = Л)^Цч
и потому P (a*, . . ., a*) = JI. Следовательно, отображение а -*- а* является изоморфизмом St в SJl, и теорема 2 доказана.
Согласно п. 7.2 алгебраическая система SI называется локально вложимой в класс систем Я, если каждое конечное обеднение каждой конечной подмодели Sl вложимо в подходящую систему класса Я.
Так как любое ультрапроизведение систем аксиоматизируемого класса принадлежит этому же классу, то из теоремы 2 непосредственно получаем
Следствие 3. Если какая-нибудь алгебраическая система SI локально вложима в аксиоматизируемый класс Si, то Sl изоморфно вложима в подходящую систему класса A.
Это следствие можно рассматривать как один из необходимых признаков аксиоматизируемости класса систем.
14 А. И. Мальцев 210 ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
Оно является также очевидным прямым следствием и теоремы 1. В качестве необходимого признака аксиоматизируемости оно явно было сформулировано, по-видимому-в статье Генкина [13] и теперь иногда называется признаком Генкина.
Подкласс систем ? некоторого класса Sl называется универсально аксиоматизируемым внутри SJ (см. п. 7.2), если S состоит из всех Я-систем, удовлетворяющих фиксированной совокупности закрытых V-формул. Согласно теореме Тарского — Лося подкласс S тогда и только тогда универсально аксиоматизируем внутри Я, когда из локальной вложимости в класс S произвольной Я-системы Ш вытекает, что St ^ S- Опираясь на теорему 2, условиям Тарского — Лося можно придать особо простой вид, если предположить, что класс S ультразамкнут (т. е. замкнут относительно ультрапроизведений) или, в частности, аксиоматизируем.
Говорят (п. 7.2), что подкласс ? класса Я наследственен в Я, если каждая SJ-подсистема произвольной 2-си-стемы является ?-системой. Из условий Тарского — Лося следует, что условие наследственности ? в S необходимо для универсальной аксиоматизируемости 2 внутри S?.
Следствие 4. Для универсальной аксиоматизируемости улътразамкнутого абстрактного подкласса ? внутри какого-нибудь улътразамкнутого класса SJ алгебраических систем необходимо и достаточно, чтобы под~ класс ? был наследственным в SL
В частности, для универсальной аксиоматизируемости (абсолютно) аксиоматизируемого подкласса ? внутри какого-нибудь аксиоматизируемого класса] Я необходимо и достаточно, чтобы ? был наследственным в Я.
Как уже говорилось, необходимость наследственности очевидна. Докажем достаточность. Пусть абстрактный подкласс ? ультразамкнут и наследственен в ультразамкнутом классе Я, и пусть какая-то Я-система И локально вложима в класс ?. Согласно теореме 2 тогда система 21 вложима в ультрапроизведение ШІ каких-то ?-систем. Из ультразамкнутости ? следует, что 9Л ? ?, а из наследственности подкласса ? вытекает, что 21 ? ?. Условия Тарского — Лося выполнены, и потому ? универсально аксиоматизируем в Я. § 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 211
Следствие 5. Для того чтобы класс ? алгебраических систем был универсально аксиоматизируем, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия:
i) класс Si ультразамкнут;
ii) класс ? (абсолютно) наследственен;
iii) класс ? абстрактен.
Это — частный случай следствия 4, получающийся в предположении, что Я — класс всех алгебраических систем данной сигнатуры. Например, следствие 5 показывает, что класс групп универсально аксиоматизируем, если он ультразамкнут, содержит подгруппы всех своих групп и абстрактен.
Изложенные результаты могут быть применены к проблеме вложения, часто и в различных формах встречающейся в алгебре.
Теорема 6. Пусть й, Si — ультразамкнутые абстрактные классы алгебраических систем сигнатур Q, и соответственно Q1, причем Q S Qi- Тогда класс ? тех Ш-систем, которые вложимы в подходящие Шу-системы, является универсально аксиоматизируемым внутри Я (либо пустым).
В самом деле, если St — какая-то Я-подсистема ?-системы 95, то 95 вложима в некоторую Ягсистему ЗЛ. Но тогда в Sft вложима и система її, т. е. її ? ? и класс ? наследственен внутри й. Ясно, что из ультразамкнутости классов й, Яі вытекает ультразамкнутость ?. Условия следствия 5 выполнены, и потому подкласс ? универсально аксиоматизируем внутри й.
