Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из D^ D1 вытекает
и потому отображение (4) является однозначным отображением W^S-JD на [[StaAD1. Из DsDtl кроме того, следует, что для любого R^Q
RifiD, ..., fmD)=H =ФД(№, ImDd = H.
Поэтому отображение (4) является гомоморфизмом.
Беря в качестве D фильтр, состоящий лишь из множества I, получаем, что каноническое отображение / -> /D1 является гомоморфизмом декартова произведения [JS?a на фильтрованное произведение W^S-JD1. Однако в общем случае гомоморфизм (4) не сильный (п. 2.4), и потому нельзя утверждать, что фильтрованное произведение есть 200
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
фактор-система от соответствующего декартова произведения по надлежащей конгруенции 9. Тем не менее, если перемножаемые системы Sla— алгебры, то фильтрованное произведение [] StaAD1- также алгебра. Любой гомоморфизм алгебры на алгебру — сильный гомоморфизм. Поэтому произведение алгебр HStaZD1, фильтрованное по произвольному фильтру Di, является фактор-алгеброй декартова произведения [] Sta по конгруенции
Теорема 2. Пусть [] StaZD — фильтрованное произведение каких-то алгебраических систем Sta (a 6 I) я J Тогда
П SUD^Д KiIDj*), (5)
«ЄГ f?J
где Dj—фильтр, образованный пересечениями J с множествами фильтра D.
В частности, если D — главный фильтр, состоящий из всех надмножеств множества J^I, то [] SlaAD^
(/€/}.
Рассмотрим отображение
1-+U (/еП«.).
гДе fj — ограничение функции / на множестве J. Из определения (1) и конструкции фильтра Dj видно, что
f ^ogOfj gj (f,g? []9la)
и для каждого R? Q
R(hD, ...,fnD) = R HhhDj, ..ifn)jDj) = M.
Поэтому отображение fD —>fjDj есть искомый изоморфизм (5).
Теорема 3. Если пересечение J всех множеств фильтра (I, D) не пусто и не принадлежит D, то
kJ
*) Если Щ и ЯЗ — алгебраические системы, то 91 es 33 означает, что 91 и 33 изоморфны. § 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ' 201
где Dj- — фильтр над J' = I\ J, образованный пересечениями J' со всеми множествами фильтра D.
Доказывается аналогично теореме 2.
Из предположений теоремы 3 видно, что пересечение всех множеств фильтра Dy пусто, и потому теорема 3 сводит изучение произвольных фильтрованных произведений к изучению декартовых произведений и произведений, фильтрованных по фильтру, имеющему пустое пересечение .своих множеств.
Теорема 4. Пусть заданы последовательности Sta (а6 /), 33a (a 61) алгебраических систем и гомоморфизмы
Ф«: SIa-»95«
систем Sta в системы 35а. Тогда отображение q>: fD—>
(/ф) D, где /ф определяется формулой
(/ф)(а) = /(а)фа (/6 О Я«).
есть гомоморфизм П StaAD в [] 35JD для любого фильтра (I, D). Если отображения фа— сильные гомоморфизмы, изоморфизмы или отображения на, то таковым же является и отображение ф.
Утверждения этой теоремы непосредственно вытекают из соответствующих определений.
Теорема 5. Пусть заданы фильтрованное произведение J D (а 6 Л и взаимно однозначное отображение о: I -у J множества I на какое-то множество J. Обозначим через Da фильтр над J, образованный о-образами множеств фильтра D. Тогда
П SIaAD ^ П ^o-JDa. (6)
?gj
Легко проверяется, что отображение / —> /ф, где
/ф(Р) = /ФО (/611?.
и представляет собою искомый изоморфизм (6).
Теоремы 4 и 5 показывают, что фильтрованное произведение с точностью до изоморфизма не зависит от способа нумерации систем и определяется абстрактными строениями сомножителей и фильтра. 202 ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
Поставим теперь следующий основной вопрос. Возьмем какое-нибудь фильтрованное произведение П StaAD алгебраических систем Sta сигнатуры й. Допустим, что в каждой системе SIa истинна некоторая фиксированная закрытая формула 1-й ступени имеющая сигнатуру Й. Спрашивается, при каких условиях, наложенных на формулу или на фильтр D, можно утверждать, что ff истинна и на фильтрованном произведении? Чтобы ответить на этот вопрос, мы введем два вспомогательных понятия.
Допустим, как и выше, что нам заданы какой-то фильтр (I, D) и отображение a -у Sta = (Аа, й) совокупности I в класс алгебраических систем фиксированной сигнатуры Й. Положим
M = UAa, St = RbJD («?/).
Рассмотрим какой-нибудь предикатный /г-арный (возможно, нульарный) символ R, не обязательно содержащийся в й. Пусть для каждого a ?/ символу R сопоставлен в качестве его значения в Sta какой-то /г-арный предикат Ra {хі, . . ., хп), определенный в SIa, и, кроме того, задан некоторый n-арный предикат R* в Si, который будет называться значением R в St.
Предикат R (т. е. совокупность его значений в Sta, Si) будем называть условно фильтрующимся (в D), если для любых ...,/„ из M
{a\Ra(ft, ...,ft) = H}tD=$RifiD, ..., fnD) = И. (7) Предикат R будем называть фильтрующимся (в D), если
{aIRaUl Ian)= ЩЄDoRiflD, fnD) = H. (8)
Функция F, определенная в Sta, St, называется фильтрующейся или условно фильтрующейся, если фильтрующимся, соответственно условно фильтрующимся, является предикат, принадлежащий этой функции.
Сравнивая формулу (8) с формулами (2), (3), видим, что все сигнатурные предикаты и функции заведомо фильтрующиеся в любом фильтре (/, D).
