Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(У ab) (афЬ& (Vx) (ах = а) -> (3 у) (by фа ^by ф Ь)). (6)
Истинность формулы (6) в фильтрованном произведении [J St JD равносильна истинности формулы
(Vab) (а фв b & (Vx) (ах ==D а) —> (Зу) (by а&Ьу Ь))
(7)
в обычном декартовом произведении [| Stri. Элементы a, b
декартова произведения можно записать в виде последовательностей
а = (а0, аи . . .); b=(b0,bu...) (аиЬі~ 0,1),
а условие a ^d b означает, что Ф bi для всех достаточно больших і. Так как (Vx) (ах =л а), то для X = (0, 0, . ..) мы должны иметь a =D ах, т. е. а^ = 0 для всех достаточно больших i. Но для достаточно больших і имеем аіфЬі, причем &г?{0, 1}. Поэтому
а={а0, ...,«„, 0, 0, . . .); & = {Ьр, ...,&„, I1 1, .. •>,218
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
Взяв в качестве у элемент (0, ... О, 1, 0, 1, О, ...), будем иметь
by =d уь уфоа, уфвъ,
и потому формула (7) истинна в П^п-
8.5. Мощности ультрапроизведений. Вследствие того, что ультрафильтры строятся с использованием аксиомы выбора, обычно не легко оценить точно мощность ультрапроизведения. Ниже излагается ряд результатов, связанных с оценками мощностей тех или иных ультрапроизведений.
Теорема 1. Если мощности всех сомножителей улътрапроизведения не превосходят фиксированного натурального числа п, то мощность улътрапроизведения также не превосходит п.
По условию в каждом сомножителе истинна формула
(V^i ... xn+i) (Xi = xz\f Xi = х3\/ . .. \Jxn = xnH).
В силу основной теоремы об ультрапроизведениях эта формула будет истинна и на ультрапроизведении.
Теорема 2. Если в фильтрованном произведении П WJD (а Є I) фильтр D не главный и для каждого натурального п число сомножителей, имеющих мощность п, конечно, то фильтрованное произведение имеет бесконечную мощность. Любое фильтрованное произведение бесконечных систем бесконечно.
Пусть в фильтрованном произведении [J St JD фильтр D не главный. Отсюда следует, что все множества D бесконечные. Обозначим через Di совокупность множеств, получающихся из множеств D отбрасыванием конечного числа элементов. Ясно, что Di — снова не главный фильтр, но заведомо содержащий все множества, дополнение которых конечно. Из D ^ Di вытекает, что фильтрованное произведение W^JD1 есть гомоморфный образ произведения WtyrJD. Поэтому теорема 2 будет доказана, если первое из упомянутых произведений окажется бесконечным. Рассмотрим формулу
(3?t .. . Xn) (X1ф X2 & Xi ф X3 & . . . & Xn^l ф Xn), (1)§ 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ' 219
утверждающую, что мощность системы не меньше п. Эта формула имеет хорновский вид и потому условно фильтруется в любом фильтрованном произведении. По условию теоремы формула (1) может быть ложной лишь в сомножителях Sta, индекс которых пробегает конечное число значений. Всякое множество, имеющее конечное дополнение, принадлежит D1. Поэтому формула (1) для любого п истинна на [] St а !D1.
Прежде чем формулировать более тонкие теоремы, сделаем несколько очевидных замечаний. Согласно определению элементами фильтрованного произведения
(Aa, Q)/D являются классы функций из декартова произведения П^к, сравнимые по фильтру D. В определении сравнимости по фильтру никакие сигнатурные символы не -участвуют. Следовательно, мощность фильтрованного произведения [] St JD целиком определяется мощностями сомножителей Sta и природой фильтра D, И потому МОЩНОСТЬ произведения [] StaAD можно обозначить через [J I Sta I ID. Более того, если Aa S Ba (а ? /), то ЦЛд/D ? YlВJD и, следовательно, мощность фильтрованного произведения монотонно зависит от мощности каждого сомножителя.
Если D s D1, то fl StaAD1 есть гомоморфный образ произведения IlSIa/Z). Поэтому
1П«-/А|<1Пя<М (2)
В частности, для любого фильтра D
|nsta/?>[<nista|. (3)
Неравенство (3) дает верхнюю границу для мощности фильтрованного произведения, которая иногда оказывается и нижней границей.
Согласно теореме 3 из п. 8.2, если пересечение M всех множеств фильтра D непусто и не принадлежит, D то
где M' = I \ M, а фильтр D0 состоит из пересечений множества M' с множествами фильтра D. Пересечение220
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
всех множеств фильтра D0 пусто, и потому D0 содержит все множества, имеющие конечное дополнение в M'. Таким образом, при изучении мощностей фильтрованных произведений можно ограничиться рассмотрением лишь фильтров, содержащих все множества, обладающие конечными дополнениями.
Фильтр {/, D) называется однородным, если мощность каждого множества из D равна мощности I.
Пусть фильтр (/, D) не однородный. Тогда D содержит какое-то множество М, мощность которого меньше I /|.
Согласно формуле (5) (п. 8.2)
nia/a^riVA 0*€М),
где фильтр D1 образован пересечениями множества M с множествами фильтра D. Следовательно, изучение мощностей произвольных фильтрованных произведений сводится к изучению мощностей произведений, фильтрованных по однородным фильтрам, содержащим все множества с конечными дополнениями.
Пусть а — какое-то кардинальное число. Фильтр D называется а-полным, если пересечение любых а множеств из D принадлежит D. В частности, фильтр D называется счетно полным, если пересечение счетного числа любых множеств из D принадлежит D.