Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Ввиду очевидности результата для нулевого или развернутого а будем считать, что-а Ф 0, а ф со.
a) Единственность получается немедленно: если
хОу = XOz1 то существует автоморфизм /, такой, что /(Ox)= Ox и f(Oy)= Oz1 и, значит, сохраняющий каждую точку прямой (Ох). Если Oy1 Oz лежат по одну сторону от этой прямой, то отображение / тождественное.
b) Для доказательства существования предположим, что а определяется в виде a = uAv. Обозначим через Si симметрию, для которой Si(A)= О. Положим Oux = Si(Au) и OUi = Si(Av)1 существует симметрия S2 с осью, проходящей через О, такая, что s2(Oui) = = Ох. Если s2(Oui)c: П, то полупрямая Oy = S2(O^i) удовлетворяет требуемым условиям; в противном случае достаточно принять за Oy полупрямую, симметричную S2(O^i) относительно Ох. ?.
В частности, существует единственная полупрямая
Oy9 перпендикулярная Ox и лежащая в П: класс хОу образован тогда парами перпендикулярных полупрямых и называется прямым углом; он обозначается 6.
240
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Отношение порядка
Выберем полупрямую Ox и замкнутую полуплоскость П, ограниченную прямой (Ох). С каждым углом а = хОу, где OyCzU9 мы ассоциируем замкнутый угловой сектор 5а, ограниченный Ox и Oy9 и условимся считать, что Sa = П, если а — развернутый угол со, и что Sa = Ox1 если а — нулевой угол. Тогда на множестве М> неориентированных углов получим отношение порядка, полагая a ^ ?, если Sa<^S$. Легко видеть, что это отношение порядка не зависит от выбора пары (Ox9 П). Мы покажем, что этот порядок линейный и что зФ9 снабженное этим порядком, изоморфно замкнутому интервалу в R.
Рис. 3 Рис. 4
Так как развернутый угол — наибольший элемент S^9 а нулевой угол — наименьший, то достаточно сравнивать ненулевые и неразвернутые углы. Для этого заметим, что всякая полупрямая Ou9 содержащая некоторую точку А ф О углового сектора с вершиной O9 вся лежит в этом секторе; удобно обозначить замкнутый угловой сектор, ограниченный двумя полупрямыми Ox9 Oy9 не лежащими на одной прямой, через 5(Ох, Oy).
Предложение 6.2. Пусть П — замкнутая полуплоскость, ограниченная прямой х'Ох9 Oy — полупрямая, лежащая в П, отличная от Ox и Ox'9 и A9 B9 А' — три точки, отличные от О. принадлежащие соответственно полупрямым Ох, Oy, Ox' (рис. 3).
а) Каждая полупрямая Oz9 лежащая в П и отличная от Ox, Oy9 Ox', пересекает только один из отрезков [AB]9 [BA']. В зависимости от того, пересекает
6. УГЛЫ
241
она [AB] или [ВЛ'], имеем включение S(Ox, Oz) cz cz 5 (Ox, Oy) или 5 (Ox, Oy) a S (Ox, Oz).
Ь) Пусть Ou9 Ov — две полупрямые, лежащие в S(Ox9Oy) и, значит, пересекающие [AB] в некоторых точках P9 Q (рис. 4). Тогда включение5 (Ox, Ou) cz CzS(Ox9Ov) равносильно утверждению «Р лежит между А и Q».
Доказательство, а) Аксиома Паша и предложение 3.1 показывают, что прямая (Oz) пересекает лишь один из отрезков [ЛВ], [ВЛ']; эта точка пересечения неизбежно принадлежит полупрямой Oz9 поскольку она лежит в П. С другой стороны, из определения полуплоскостей и угловых секторов вытекает, что [AB]CzS(Ox9Oy) и [BAf] cz S(Oy9 Ox'). По предыдущему замечанию Oz cz 5 (Ox, Oy) или Ozcz 5 (Oy9 Ox'), смотря по тому, пересекает ли Oz отрезок [AB] или [BA'].
Если Oz пересекает [AB] в точке C9 то полученный нами результат показывает (в измененных обозначениях), что 5 (Ox, Oz) есть объединение полупрямых с началом О, пересекающих [AC]9 тогда как S(Ox9Oy) есть объединение полупрямых с началом О, пересекающих [AB]. Отсюда вытекает включение 5(Ox, Oz)Cz 5(Ох, Oy).
Если Oz пересекает [ВА']9 то аналогично имеем S(Ox'9 Oz) cz S (Ox*\ Oy)9 откуда, переходя к дополнительным секторам, получаем 5 (Ox, Oz) zd S (Ох, Oy).
Ъ) По предыдущему, включение S (Ox, Ou) cz CzS(Ox9 Ov) равносильно Ou cz S(Ox9 Ov)9 а значит, Pt=[AQ]. D
Следствие. Отношение порядка, определенное на множестве s& углов, есть отношение линейного порядка, и каждое подмножество в $Ф допускает верхнюю и нижнюю грани.
Доказательство. Линейность порядка вытекает из части а) предыдущего предложения. С другой стороны, часть Ь) показывает, что множество [0, а] углов, не превосходящих некоторого неразвернутого
угла a = xOyt допускает строго возрастающую биек-
242
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
цию на отрезок [AB], ориентированный от Л к В. Отсюда вытекает, что $t> допускает строго возрастающую биекцию на ломаную линию (ABAf) (объединение отрезков [AB] и [SA'], ориентированное от А к А')\ следовательно, s& изоморфно замкнутому ограниченному интервалу / в R длины AB+ BA'. Отсюда следует наше утверждение, так как любое подмножество в / имеет в / нижнюю и верхнюю грани.
7. СЛОЖЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
Во всем последующем, если не оговорено противное слово «угол» означает неориентированный угол, а S(Ox1Oy) обозначает замкнутый угловой сектор,, ограниченный двумя не противоположными полупрямыми Ox9 Oy, или полупрямую Ox в случае Ox = Oy»
Определение 7.1. Говорят, что угол у есть сумма углов а, ?, и пишут Y=^« + ?, если существуют три полупрямые Ох, Oy, Oz с общим началом О, такие,
