Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Если О = О' и 5 — какая-либо симметрия с осью, проходящей через О, то отображение h: 9Io&о, г у-^>s°г оs является автоморфизмом и можно проверить, что h(r)= г—1 (см. упр. VI. 3).
Центральные симметрии
Определение 5.1. Если О — точка плоскости Р, то симметрией с центром О называется биекция оо плоскости P на определяемая условием:
для любой точки Me^ точка О есть середина от-резка [Moo(M)].
Теорема 5.4. Симметрия с центром О есть коммутативное произведение осевых симметрии относительно любой пары перпендикулярных прямых, проходящих через О; она есть, следовательно, вращение с центром О и притом единственное инволютивное вращение с центром О, отличное от тождественного отображения.
Доказательство, а) Обозначив через S)1 S)' две перпендикулярные прямые, проходящие через О, покажем, что симметрии s=sw и S = Sw коммутируют
6. УГЛЫ
237
и что их произведение есть инволютивное вращение.
Выберем А^3)'\{0}\ точка В = s(A) принадлежит ЗУ по условию; поэтому sf ° s(A) = s'(B) == В и s о s'(A) = s(A) = В. По вышеприведенному следствию 2 получим 5'0S = SoS7 (единственное вращение с центром О, переводящее А в ?) .Отсюда (/ о s) о (s' о s) =
= (s' о 5) о (s о $') = Id^.
Ь) Покажем, что инволютивное вращение г с центром О есть симметрия с центром О или тождественное отображение.
В самом деле, для каждой точки Me^ середина отрезка [Mr(M)] есть неподвижная точка г; если г Ф Id^, то это точка О и г = ао.
Так как композиция симметрии относительно двух ортогональных прямых 3), 3)' не может быть тождественным отображением (поскольку ЗУ Ф3>), то она является симметрией с центром О. Теорема 5.4 полиостью доказана. ?
6. УГЛЫ
Слово «угол» охватывает традиционно несколько разных математических понятий, которые необходимо различать. Но усилия, предпринятые в преподавании для устранения любых неясностей, привели к парализующей тяжести терминологии. На самом деле на практике пользуются обиходным языком: исходя из «угла» как фигуры, образованной двумя полупрямыми с общим началом, к нему присоединяют все математические понятия, в которых возникает надобность. Но, чтобы не утратить необходимой гибкости, не следует, как часто делают, сводить традиционное понятие «фигуры» к понятию множества: геометрическая фигура скорее есть семейство множеств (точек, прямых, отрезков, окружностей, ...), связанных определенными соотношениями, и мы можем по произволу обогащать фигуру посредством геометрических построений.
В частности, заметим, что задание двух полупрямых Ox, Oy с общим началом О равносильно заданию
238
гл. vi. метрическая геометрия
множества (Ox)[J(Oy) лишь в том случае, если эти полупрямые не противоположны 1).
Каждой паре (Ox, Oy) полупрямых с общим началом, не лежащих на одной прямой, мы ставим в соответствие открытый угловой сектор, образованный пересечением полуплоскости Щ, содержащей Oy и ограниченной прямой (Ох), и полуплоскости Hy9 содержащей Ox и ограниченной прямой (Oy). Замкнутый угловой сектор получится как пересечение замкнутых полуплоскостей (замкнутая полуплоскость есть объединение полуплоскости и ее граничной прямой).
Определение 6.1. Две пары (Ox, Oy)9 (0'х'9 О'у'} полупрямых называются конгруэнтными (или, не совсем правильно, равными), если существует автоморфизм f плоскости 9У такой, что /(Ox)=OV и f(Oy)= О'у'.
Это отношение конгруэнтности является, очевидным образом, отношением эквивалентности, классы эквивалентности которого называются неориентированными углами, класс, содержащий пару (Ox9Oy)9,
обозначается хОу.
Если полупрямые Ox, Oy совпадают (соотв. противоположны), то класс хОу9 образованный совпадающими (соотв. противоположными) парами полу* прямых, есть по определению нулевой (соотв. развер*
нутый) угол хОу. Нулевой угол обозначают просто О, а развернутый со.
Очевидно, что хОу = уОх (так как существует симметрия, переставляющая Ox и Oy).
Подобным же образом, если Ox', Oy' — две полупрямые, соответственно противоположные Ox, Oy9 то
х'Оу = хОу (так как симметрия с центром О меняет местами Ox с Ox' и Oy с Oy').
Наконец, как мы увидим далее, пары (Ox, Oy)9, такие, что прямые (Ох), (Oy) перпендикулярны, об-
l) В случае противоположных полупрямых их задание выделяет на прямой точку О, но прямая с выделенной точкой есть уже фигура, отличная от самой прямой (для сравнения: отрезок и отрезок с указанной серединой — фигуры разные).— Прим. перев.
6. УГЛЫ
239»
разуют один класс эквивалентности, называемый прямым углом и обозначаемый б.
Изучение углов будет облегчено благодаря использованию представителей (Ox1Oy)1 одна сторона Ox которых будет фиксирована, а вторая Oy будет располагаться в одной из полуплоскостей, ограниченных прямой (Ох).
Предложение 6.1. Пусть Ox—полупрямая и П — замкнутая полуплоскость, ограниченная прямой (Ох). Для любого неориентированного угла а имеется единственный представитель вида (Ox1Oy)1 где Oy а
cz П (другими словами, отображение Oy *->хОу есть биекция множества полупрямых с началом O1 содержащихся в П, на множество углов).
