Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Пересечение двух прямых
Полученные результаты показывают, что существуют пары прямых, не имеющих общей точки; так, имеет место
Предложение 9.4. Если прямая S не проходит через точку О, то прямая S\ симметричная S относительно О, не пересекается с 3).
Доказательство. Если бы S и S)' имели общую точку А, то им принадлежала бы и точка В, симметричная А относительно О. Эта точка отлична от точки А (так как АфО)у поэтому прямые S и S' должны были бы совпадать и S) проходила бы через О как середину отрезка [AB]9 то противоречит предположению. ?
Предложение 9.5 Две различные прямые S> S'9 перпендикулярные к одной и той же прямой А, не имеют общих точек.
Это есть прямое следствие предложения 4.5. Из него выводится
^ Предложение 9.6. Через любую точку Л, не лежащую на прямой S9 проходит по меньшей мере одна прямая S'у не пересекающаяся с S.
Доказательство. Первый способ: выберем на S точку ? и примем за S' прямую, симметричную S). относительно середины О отрезка [AB].
Второй способ: проведем через А прямую А, перпендикулярную Sy и затем построим S)' как перпендикуляр к А в точке А. О
Предложение 9.5 допускает следующее обобщение*
Предложение 9.7. Если две различные прямые S9 3)\ образуют с некоторой прямой А соответственно
254
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
равные углы1) (см. рис. 11), то они не имеют общей точки.
Доказательство. Если 3), 3)' пересекают А в точках л, л', то, как легко видеть, 3)' и 3) симметричны относительно середины / отрезка [лл'].
> Этот результат, которым иногда пренебрегают, имеет важное практическое значение, так как служит оправданием приема построения параллельных с помощью угольника (см. рис. 12).
Наконец, предложение 9.7 само допускает следующее уточнение:
Предложение 9.8. Если Ах, By — полупрямые,
такие, что сумма хАВ + уВА равна развернутому углу или не определена, то они не имеют общей точки l(cm. рис. 13).
Рис. 11 Рис. 12
Доказательство. Если бы Ax и By пересекались в точке С, то треугольник (ABC) не удовлетворял бы следствию из предложения 8.2. ?
Аксиома Евклида о параллельных
Только дойдя до этого места, Евклид в своих «Началах» формулирует свой знаменитый пятый постулат в следующей форме:
^ (E0) Если две полупрямые Ах, By расположены по одну сторону от прямой (AB) и сумма хАВ + уВА
1) Выше не было определения соответствующих углов; читателя не затруднит дать его, пользуясь понятиями полупрямых и полуплоскостей, — Прим. перев,
9. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И НАКЛОННЫЕ, ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 255
строго меньше развернутого угла, то эти полупрямые имеют общую точку (см. рис. 14).
Легко видеть, что утверждение (E0) равносильно следующему, которое является современной формой постулата Евклида, введенной в практику преподавания Дж. Плэйфером (J. Playfair, 1748—1819) 1J.
> (E1) Через точку, не лежащую на прямой SD1 проходит не более одной прямой, не пересекающей 3).
Эти формулировки равносильны также следующей:
Рис 13 Рис, 14
> (E^) Для того чтобы две различные прямые не пересекались, необходимо, чтобы их соответственные углы с каждой общей секущей были равны.
Доказательство равносильности этих аксиом элементарно.
Не принимая временно ни одной из этих аксиом, мы продолжим изучение абсолютной геометрии, идя по стопам Саккери и Лежандра; мы обнаружим другие свойства, эквивалентность которых аксиоме Евклида менее очевидна, в их числе
^ (E^) Существуют прямая 3) и не лежащая на ней точка A1 такие, что через Л проходит единственная прямая, не пересекающая 3).
^ (E3) Существует прямоугольник (т. е. четырехугольник с четырьмя прямыми углами).
1J В такой форме постулат также называют именем Прокла или Прокла — Плэйфера.—Прим. перев,
256
ГЛ. Vf. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
> (E4) Сумма углов любого треугольника равна развернутому углу.
> (E5) Существует треугольник, сумма углов которого равна развернутому углу.
> (E6) Существует пара неизометричних треугольников (ABC) и (A'В'С) с равными углами: А' = А, В' = В, C = C
Равносильность (E6) с (Ei) доказывает, что евклидова плоскость — единственная, для которой существуют подобия, не сводящиеся к изометриям.
10. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК САККЕРИ. ПРИЛОЖЕНИЯ
Уточним сначала, что многоугольник в плоскости P называется выпуклым, если все его вершины располагаются по одну сторону от прямой, соединяющей любую пару последовательных вершин.
B=B0 C=Bi B2 Бз Б4
Рис. 15
Определение 10.1. В метрической плоскости P четырехугольником Саккери называется выпуклый
четырехугольник (ABCD)1 такой, что углы ABC и
BCD прямые и AB = CD. Отрезок [ВС] называется его нижним, а отрезок [AD] — верхним основаниями (рис. 15).
Легко видеть, что в случае евклидовой геометрии такой четырехугольник будет прямоугольником. По-
10. четырехугольник саккери. приложения 257
этому изучение этого четырехугольника позволит нам углубить представление о значении постулата Евклида.
> Теорема 10.1. Если (ABCD) — четырехугольник
Саккери, то AD^BC и равные углы BAD, CDA острые или прямые.
