Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
(О') Если {A9B9 С) — три точки 9>, такие, что [AB] и [ВС] не пересекаются с прямой S)9 то и [АС] не пересекается с S).
Но утверждение (О') обратно противоположно аксиоме Паша Иа и потому выполнено.
Рис. 2
С другой стороны, можно построить две ТОЧКИ Ai9. A2 в 9\S, такие, что отрезок [AiA2] пересекает S) в некоторой точке /: достаточно провести через / прямую Д и применить аксиому IIId для построения двух точек Ai, A2 прямой А по разные стороны от /, таких, что d(I,Ax)=d(I,A2) = 1 (рис.2).
Если M— любая точка в 9>\S, то прямая S не проходит ни через одну из вершин треугольника (MAiA2), и поскольку она пересекает отрезок [AiA2J, она пересекает только один из отрезков [MAi], [MA2], т. е. M принадлежит либо классу Ai, либо классу A2, и отношение 9t действительно определяет два класса эквивалентности. ?
Напомним здесь, что прямая S) в 9 называется ориентированной, если выбрано одно из двух определенных на ней отношений порядка.
Свойства, связанные с расстоянием
Признаемся сначала, что мы употребили слово «расстояние», не приняв всех аксиом метрического пространства: аксиома И1с влечет неравенство треугольника d(Ay В) ^ d(A9 С) + d(C, В) только для троек коллинеарных точек, но не в общем случае. Однако, как мы увидим далее, общее неравенство тре-
8*
'228
гл. vi. метрическая геометрия
угольника есть следствие принятой системы аксиом (предложение 8.4), что апостериори оправдывает применение термина «расстояние».
Покажем, теперь, что прямые в 9і изометричны «числовой прямой» R.
Предложение 3.3. Для каждой ориентированной прямой ЗУ и каждой ее точки О существует единственная возрастающая биекция / прямой ЗУ на R, для которой f(O) = 0 и
(У(Л, В)е2)2) M(B)^f(A)I = (I(A1 В).
Доказательство. Пусть (Ох) (соотв. (Ox')) — полупрямая с началом О, состоящая из точек M ^ ЗУ, лежащих после (соотв. перед) О относительно выбранного на ЗУ отношения порядка; легко видеть, что единственная функция, удовлетворяющая поставленным условиям, определяется равенствами \(М) = = Ci(O1M), если AfG=(Ox), и /(Al) = — d(0, M)1 если M ее (Ox'). ?
Действительное значение f(M) называется абсциссой точки M на ориентированной и пунктированной прямой ЗУо и обозначается ОМ.
Отметим, что если изменить ориентацию ЗУ, не меняя начала O1 то функция / изменит знак на противоположный.
Следствие. Для любой пары (A1 В) различных точек 9і существует единственная точка С на прямой
(AB)1 для которой (1(A1C) = (1(B1C)] эта точка лежит между А и В и называется серединой отрезка
[AB}.
Доказательство. Из аксиомы И1с видно, что А не может лежать между В и C1 В между А и С; таким образом, С лежит между А и В. При любой ориентации прямой (AB) точка С определяется равенством
(1(A1 C) = 42d(A,B).
Если А = B1 то будем говорить, что серединой отрезка [AA] служит А.
3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 229
Общие свойства автоморфизмов
Аксиома IHc показывает, что всякий автоморфизм 9і сохраняет отношение «лежать между». Итак, если / — автоморфизм 9 и 3)— прямая на 9 и если выбраны ориентации прямых 3) и f(3)), то ограничение f на 3) будет монотонной биекцией 3) на f(3)). Отсюда вытекает
Предложение 3.4. Если /—автоморфизм 9, то
a) образ отрезка [AB] есть отрезок [f(A)f(B)];
b) образ полупрямой с началом О есть полупрямая с началом /(О);
c) образ полуплоскости, ограниченной прямой 3)У есть полуплоскость, ограниченная прямой \(3)).
С другой стороны, краткое изучение неподвижных точек автоморфизмов дает нам
Предложение 3.5. Пусть / — автоморфизм 9; тогда
a) если / имеет две неподвижные точки А и В, то он оставляет неподвижной и каждую точку прямой {AB);
b) если / меняет местами точки Л и В, то он оставляет неподвижной середину отрезка [AB];
c) если f допускает три неколлинеарные неподвижные точки А, В, С, то / является тождественным отображением.
Доказательство. Утверждение а) следует из того, что точка M прямой (AB) полностью определяется своими расстояниями от точек А, В. Можно также воспользоваться предложением 3.3, чтобы свести дело к изометрии R.
b) Если f(A)=B и f(B) = A, то образ середины С отрезка [AB] есть середина образа [f(A)f(B)] = =*[ВА\Л т. е. С.
c) Если f допускает три неколлинеарные неподвижные точки Ау В, С, то, как показывает утверждение а), / оставляет на месте каждую точку прямых (AB), (ВС), (CA). Но через каждую точку M в 9У не принадлежащую этим прямым, проходит по крайней мере одна прямая 3), пересекающая две из этих прямых в различных точках (достаточно применить
230
гл. vi. метрическая геометрия
аксиому Паша Иь к прямой SD1 соединяющей M с одной из внутренних точек отрезка [ВС]). Тогда все точки P неподвижны при / и, в частности, /(Al) = = М. D
Наконец, очевидно, что автоморфизмы P образуют группу. Отсюда следует
Предложение 3.6. На множестве ST подмножеств P можно ввести отношение эквивалентности, полагая F = F' тогда и только тогда, когда существует автоморфизм / плоскости <р, такой, что f(F) = F'.
Это отношение эквивалентности называется кон-груэнтностью или, не совсем правильно, равенством. Далее мы встретим примеры этого отношения.
