Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Установленные в этом параграфе свойства не зависят от аксиом симметрии Иа и Иь. Теперь мы изучим следствия этих аксиом.
4. ОСЕВЫЕ СИММЕТРИИ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
Свойства осевых симметрии
Предложение 4.1. Любая осевая симметрия s& инволютивна\ она не имеет других неподвижных точек, кроме точек своей оси SD, и меняет местами полуплоскости, ограниченные прямой 3).
Доказательство. Композиция Sw0 Sw есть автоморфизм ?Р, отличный от Sw и оставляющий неподвижной каждую точку SD, а следовательно, совпадающий с IcU по аксиоме IVa. С другой стороны,, как показывает предложение 3.5, с), симметрия s& не имеет других неподвижных точек, кроме точек прямой SD. Наконец, для любой точки M=iSP\SD середина / отрезка [Msw(M)] остается на месте при Sw по предложению 3.5, Ь) (в силу инволютивности Sw)V таким образом, /ей) и Sw[M) лежат в другой полуплоскости, чем М, относительно SD.
Предложение 4.2. Если А, В — две различные точки Р, то существует единственная прямая SD, такая * что Sw(A) = B.
4. осевые симметрии. перпендукулярные прямые 23Г
Доказательство. Существование. Пусть О — середина отрезка [AB] и Ox (соотв. Oy)—полупрямая с началом O1 содержащая А (соотв. В)\ по аксиоме IVb найдется хотя бы одна прямая 3), такая, что S3 (Ox)== Oy1 и поскольку Cl(O1 A) = Cl(O1 B)1 то S3 (А) = В.
Единственность. Пусть ЗУ — другая прямая, такая, что S3' (А) = В. Тогда S3 и S3' — автоморфизмы, переставляющие А и B1 сохраняющие, следовательно, прямую A = (AB) и отличные от 5д. Поскольку прямые 3) и ЗУ отличны от прямой Д, то S3 и S3' имеют неподвижные точки, не лежащие на Д. Композиция S30 S3' есть автоморфизм, оставляющий неподвижными точки А и B1 а потому и любую точку прямой А, и отличный от Sa1 так как он сохраняет полуплоскости, ограниченные прямой Д. Итак, S3 0 S3' = Id^, откуда 3) = 3)'. О
Следствие. Если Ox9 Oy--две полупрямые с общим началом О, то существует единственная прямая 3), такая, что s&(Ox) = Oy. Эта прямая, проходящая, через O1 называется биссектрисой полупрямых Ox и Oy.
Доказательство. Прежде всего для того, чтобы выполнялось условие S3 (Ox) = Oy1 необходимо, чтобы S3 (О) = О (см. предложение 3.4, Ь)), а потому Ое& Пусть тогда А є (Ох) и Be (Oy) — такие точки, что Cl(O1 A) = Cl(O1 В)>0. Условие S3(0x) = 0y влечет S3 (А) = В. Если Ox = Oy1 то A = B иЗ) может быть* лишь прямой (ОA)9 содержащей Ох. Если же ОхфОу9 то АфВ и 3) есть ось симметрии, переставляющей, А и В.
Медиатриса отрезка
^ Теорема 4.3. Множество точек, равноудаленных от двух различных точек А и B1 есть ось 3) единствен* ной осевой симметрии, переставляющей А и В.
Доказательство. Очевидно, что из Мє® следует Cl(A1 M) = d(B, M) (так как M неподвижна относительно симметрии 5^>). Обратно, пусть Мє^ — та-
232
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
кая точка, что d(A, M) = d(B, M)1 и пусть А есть ось симметрии, переставляющей полупрямые с началом M1 содержащие соответственно А и ІЗ; тогда Sa(A) = = B1 откуда А = 2)иМе2). ?
Перпендикулярные прямые
Определение 4.1. Говорят, что прямая А перпендикулярна (или ортогональна) прямой S, если S и 5д (S) = S\ в этом случае пишут A _L S).
Покажем, что отношение ортогональности симметрично (хотя и не рефлексивно).
> Теорема 4.4. Отношение A _L S влечет SJ-A; из него также следует, что прямые А и S пересекаются.
Доказательство 1). Пусть А є S -—такая точка, что Аф А; если Sa(S) = S)1 то точка B = Sa(A) отлична от Л и принадлежит S\ середина О отрезка {AB] неподвижна относительно Sa и, значит, является общей точкой S0 и А, а потому А — медиатриса [AB]. Тогда, поскольку симметрия сохраняет расстояния,
(А) есть медиатриса [s® (A) s® (В)] = [AB] и Sw (A)=A. Другими словами, из A jl S) следует S 1 А. ?
Замечание. Из этого доказательства видно, что медиатриса отрезка [AB] есть перпендикуляр к прямой (AB)1 проходящий через середину О отрезка [AB].
Предложение 4.5. Через данную точку А проходит одна и только одна прямая, перпендикулярная заданной прямой S.
Доказательство. Если А ф S1 то искомая прямая должна пройти через точку S = s& (А); значит, это может быть лишь прямая (AB)1 и ее образ при симметрии SS) есть прямая (s® (A) s® (В)) = (AB).
Если A ^S1 то искомый перпендикуляр есть ось единственной симметрии, переставляющей две полупрямые прямой S с началом в А.
l) На ближайших страницах мы предоставляем читателю выполнить соответствующие очень простые рисунки.
5. ВРАЩЕНИЯ
233
Снова об автоморфизмах
Предложение 4.6. Пусть (ABC) и (A'В'С) — два треугольника (тройки неколлинеарных точек), для которых
d (A9 В) = d (A'9 В'), d (A9 C) = d (A9 C)9
d(B9 C) = d(B\ С).
Тогда существует единственный автоморфизм f плоскости P9 который переводит (A9B9C) в (A'9 В'9 C)9 и этот автоморфизм является произведением двух или трех осевых симметрии 1).
Доказательство. Единственность f следует из предложения 3,5,с), так как если бы было два таких автоморфизма f, g9 то автоморфизм g~\°f имел бы три неколлинеарные неподвижные точки A9 B9 C9 откуда
