Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Следствие. Для любых точек A1 B1 С плоскости P имеет место неравенство d(Ay В) ^ d(Af С) + d(C9 B)9 причем равенство выполняется лишь тогда, когда С — точка отрезка [AB].
> Отсюда вытекает, что плоскость P1 снабженная отображением расстояния dy является метрическим пространством; мы могли бы поэтому снабдить ее ассоциированной топологией.
10 Ж. Лелон-Ферран
250
.Л. V!\ МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Назовем изометрией всякую биекцию 3> на 9і, сохраняющую расстояния; тогда имеет место
О Теорема 8.5. Каждая изометрия 0і является автоморфизмом.
Доказательство. Достаточно доказать, что если f—изометрия, то образ прямой есть прямая. Итак, пусть А, В, С — три коллинеарные точки. Одна из них, для определенности С, лежит между двумя другими; тогда AB = AC+ BC9 откуда d(f(A),f(B)) = = d(f(A),f(C)) + d{f{B),f(C)). Последнее равенство означает, что f(C) принадлежит прямой (f(A)f(B)). Итак, / сохраняет коллинеарность, а отсюда легко следует, что образ прямой есть прямая. ?
> Отныне мы можем применять слово «изометрия» вместо «автоморфизм».
9. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И НАКЛОННЫЕ. ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
Предложение 9.1. Пусть SD— прямая плоскости 9і, А — точка в 9>\SD и H — основание перпендикуляра к SD9 проведенного через А. Тогда для любой точки Мє2) имеем AM ^ АН и на каждой из полупрямых Hx, Hx', определяемых на SD точкой Я, расстояние AM есть строго возрастающая функция расстояния HM9 стремящаяся к +°° вместе с НМЛ
Расстояние АН есть, таким образом, абсолютный минимум AM, когда M пробегает SD\ оно называется расстоянием от точки А до прямой SD.
Доказательство. Пусть точка А' симметрична А относительно прямой SD (рис. 10). Для каждой точки MeeSD имеем 2AM = AM + MA' ^ AA'' = 2AH и, значит, AM ^ АН, где равенство достигается лишь при M є [AA'], т. е. при M = H.
Если М, P — две точки прямой SD9 принадлежащие одной и той же полупрямой с началом Н, и HP >
> HM9 то M^l [HP] и аксиома Паша, примененная
9. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И НАКЛОННЫЕ. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 251
к треугольнику (HPA') 9 показывает, что прямая (AM)4 пересекает [PA'] в некоторой точке Q. Поэтому
2AP = AP + PQ + QA' > AQ + QA' и
AQ + QA' = AM + MQ + QA' > AM + MA' = 2AM9
откуда AP > AM.
Наконец, меняя ролями А и Af, найдем, что MA >' > MH по первой части предложения. Значит, MA стремится к + оо, когда MH стремится к +оо.
Рис. 10
Приложение: пересечение прямой с окружностью
Так как окружность W(O9R) есть множество точек плоскости 9У расстояние которых от ее центра, т. е. точки О, равно ее радиусу R9 то имеет место
Предложение 9.2. Для того чтобы прямая S пересекалась с окружностью W(O9R)9 необходимо и достаточно, чтобы расстояние d(OyS) от О до S не превосходило R] прямая имеет с окружностью две общие точки или одну, смотря по тому, будет ли d(09S)<R или d(09S) = R.
Доказательство. Необходимость условия вытекает из предложения 9.1. Для доказательства достаточности предположим, что d(09 S) < R9 и обозначим через H ортогональную проекцию О на S. На каждой из полупрямых Hx9 Hx'9 определяемых началом H на Sy расстояние OM есть строго возрастающая функ-
10*
252
гл. vi. метрическая геометрия
ция расстояния HM9 изменяющаяся от d(0,<?>) до ,+ °°, когда HM изменяется от 0 до +оо; следовательно, она единственный раз принимает значение R. Исследование случая (1(0,SD)=R очевидно. ?
Пересечение двух окружностей
Без какой-нибудь дополнительной аксиомы, по-видимому, трудно обсуждать вопрос о пересечении двух окружностей, не используя топологических соображений. Допустив, что окружности являются связными множествами на 9 (см. упр. VI. 6), мы установим
Предложение 9.3. Для того чтобы две окружности W(O9R)9 W(0'9R') с различными центрами O9 О' пересекались, необходимо и достаточно, чтобы расстояние d = ОО' между их центрами удовлетворяло неравенствам
\R-R'\<d^R + R'; (1)
они имеют две общие точки или одну, смотря по тому, являются ли неравенства строгими: \R — R'\<d<< < R + R' или одно из них становится равенством: d = \R — R'\ илиd = R f/?'.
Доказательство. Необходимость условия (1) следует из неравенства треугольника. Пусть, напротив, (1) выполнено; обозначим через f(M)=0'M расстояние от О' до переменной точки M окружности W(O9R). Применив неравенства для сторон треугольника (MOO')9 получим \d — R\^f(M)^d + R; кроме того, / принимает значения \d — R\9 d + R в точках A9 В прямой (OO'). Но / — непрерывное отображение из W(O9R) в R (как ограничение на W(O9R) функции расстояния). Если мы допустим, что W(O9R) — связное множество, то / будет принимать на каждой из полуокружностей диаметра [AB] каждое значение, заключенное между наименьшим d—R\ и наибольшим d-\-R\ в частности, f примет и значе-" ние R' (так как из (1) следует, что \d — R\^R'^ ^d + R).
Остается доказать, что f на каждой из полуокружностей принимает значение R' лишь один раз. Дей-
9. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И НАКЛОННЫЕ. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 253
ствительно, если f (M) = f (P) = R', то прямая (ОО') есть медиатриса отрезка [MP] и точки M9 P могут принадлежать одной и той же полуокружности лишь при M = P. Отсюда и вытекает результат, поскольку Mg^(O1 R)(]W(О', R') равносильно f(M) = R'. D
