Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Напомним, что если k= 180 (соотв. 200, я), то действительное число ф(а) называется мерой угла а в градусах (соотв. в градах, радианах).
Задачи ориентации
Ориентация действительной аффинной плоскости— относительно простой вопрос, так как существование группы трансляций позволяет свести дело к линейной группе, что приводит к ориентированию реперов с фиксированным началом. Возможно, хотя и не столь просто, ориентировать метрическую плоскость
не вводя дополнительной аксиомы, и доказать, что группа ее автоморфизмов распадается на два непересекающихся множества: подгруппу автоморфизмов (автоморфизмы первого рода1)), разлагающихся в четное число осевых симметрии, и множество автоморфизмов (автоморфизмы второго рода), разлагающихся в нечетное число осевых симметрии.
Чтобы доказать это, можно начать с определения отношения эквивалентности на множестве S) пар полупрямых (Ox, Oy)2), не лежащих на одной прямой: при этом говорят, что две пары имеют одинаковую ориентацию, если они принадлежат одному классу. Затем доказывается, что это отношение определяет два класса эквивалентности, и автоморфизмы классифицируются, смотря по тому, сохраняют или изменяют они ориентацию пары (Ox9Oy) из S) (см. [LFl].
При такой ориентации метрической плоскости можно определить понятие ориентированного угла и меры ориентированных углов; эта последняя задача равносильна отысканию гомоморфизмов группы вра-
1J В оригинале: direct и indirect. — Прим. перев. 2) Здесь эти пары упорядоченные. — Прим. перев.
8. неравенства в треугольнике. приложения 247
щений dto с данным центром О на мультипликативную группу U комплексных чисел с модулем, равным 1, лри подчинении этих гомоморфизмов условию сохранения циклического порядка. К этому можно прийти элементарным путем, отправляясь от меры неориентированных углов.
«. НЕРАВЕНСТВА B ТРЕУГОЛЬНИКЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ
> Обозначения. Начиная отсюда, будем обозначать расстояние между двумя точками Л, В просто AB вместо d(AyB) (что позволяет записать вычисления более наглядно). С другой стороны, полупрямую с началом Л, содержащую точку ?, будем обозначать через (AB (. Далее речь идет всюду о неориентированных углах, и мы говорим просто об «углах»; угол называется острым (соотв. тупым),.ест он строго меньше (соотв. больше) прямого угла. Если (ABC) — треугольник, то будем обозначать ВАС или, короче, А угол между полупрямыми (AB(, (AC(; дополнительный угол со — A будет называться внешним углом треугольника, смежным с Л; это есть угол между (AB) и полупрямой, противоположной (AC(.
Наконец, ради сохранения традиции мы говорим, что сумма двух углов, если она определена, не превосходит развернутого угла со.
Равнобедренные треугольники
Предложение 8.1 !). В треугольнике (ABC) равенство AB = AC равносильно B = C.
Доказательство. Если AB = AC1 то существует симметрия 5 с осью, проходящей через A1 переставляющая В и С; отсюда следует равенство ABC = ACB.
Обратно, если ABC = ACB и Л' —точка, симметричная Л относительно медиатрисы отрезка [BC]9 то
l) В старинных трактатах по геометрии это предложение называлось «ослиным мостиком» (лат. pons asinorum). Несомненно, оно рассматривалось как тест на сообразительность.
248
гл. vi. метрическая геометрия
равенство A!BC = ACB = ABC показывает, что полупрямые (BA'( и (BA (, находясь по одну сторону от прямой (ВС), совпадают. Точно так же (CA'(= (СА(, откуда А' = А и AB = АС. ?
Неравенства в треугольнике
Предложение 8.2. В треугольнике (ABC) каждый внешний угол строго больше каждого не смежного с ним внутреннего.
Доказательство. Пусть Bx—полупрямая, противоположная (ВС(. Внешний угол при вершине В есть
ABx1 и нам достаточно доказать неравенство ABx > > ВАС; остальные получаются из него перестановкой
Рис. 8
вершин. Обозначим середину отрезка [AB] через /, и пусть D — точка, симметричная С относительно / (рис. 7). Так как симметрия с центром / есть автоморфизм, то ВАС = ABD. С другой стороны, D принадлежит открытому угловому сектору, ограниченному полупрямыми Bx и (BA (, откуда ABx > ABD = = ВАС. D
Следствие. Сумма двух углов треугольника строго меньше развернутого угла.
Действительно, при тех же обозначениях имеем ВАС + CBA < ABx + СБА = а>.
8. НЕРАВЕНСТВА В ТРЕУГОЛЬНИКЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ 249
Предложение 8.3. В треугольнике (ABC) неравенства AB > AC и ACB > ABC равносильны (иными словами, меры углов образуют тот же порядок, что и длины противолежащих сторон).
Доказательство. Пусть AB > AC и De [AB] — та* кая точка, что AD = AC (см. рис. 8). По предложению 8.1 имеем ADC = ACD9 а по предложению 8.2
ABC < ADCt откуда ABO < АСВ. Обратное утверждение получается рассуждением от противного с перестановкой ShCD
> Предложение 8.4. В треугольнике (ABC) длина каждой стороны строго меньше суммы длин двух дру гих сторон.
D
Рис. 9 В С
Доказательство. Пусть D — точка полупрямой, противоположной (AC(у такая, что AD = AB. Имеем
ADB = ABD <CBD (см. рис. 9), откуда, применяя предложение 8.3 к треугольнику (BCD) у получаем ВС < CD и ВС < AB + АС.
