Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
что хОу = а, yOz = ?, xOz = y и
• либо S (Ox, Oz) = S (Ox, Oy) U S (Oy, Oz),
• либо Oz — полупрямая, противоположная Ox (в этом случае говорят, что угол ? дополнителен к а и что а + ?—-развернутый угол).
Если Y = cc + ?, то пишут также ? = у — а и а = = Y-?.
Заметим, что в любом случае эти три полупрямые лежат в одной полуплоскости (рис. 5).
7. сложение и измерение углов
24а
Из данного определения, основанного на теоретико-множественном объединении угловых секторов, следует, что сложение углов коммутативно и ассоциативно; оно удовлетворяет также правилу сокращения, по которому из а + ? = а + ?' следует ? = ?'; однако сумма а + ? определена не всегда (рис. 6).
Половинный угол. По определению, внутренняя биссектриса двух не противоположных полупрямых Оуу Oz есть полупрямая Оиу лежащая на прямой —
биссектрисе Oyу Oz и содержащаяся в S(Oy, Oz)* Очевидно, что (см. рис. 5) уОи = uOz и yOu + uOz = = yOz, откуда yOz = 2yOu 1). Мы говорим, что угол
уОи есть половина угла yOz, и пишем yOu = l/2yOz.
Прямой угол б — единственный, для которого 28 = = б + б = со; итак, половинный угол данного угла всегда определен.
По индукции для любого угла а определяется по-следовательность (ап) таких углов, что 2пап = а; угол (Xn обозначаем 2~rta.
Существование градуировки на множестве углов
Воспользуемся представителями углов вида хО#, где Ox — заданная полупрямая, a Oy содержится в замкнутой полуплоскости П, ограниченной прямой (Ох).
Пусть Ou — внутренняя биссектриса полупрямых Oy, Oz, расположенных в П; положим хОу = а, xOz = Y (см- Рис- 5); тогда легко видеть, что хОи = = у + у. Более того, каждая полупрямая, лежащая в S (Oy, Oz), содержится в одном из секторов S (Oy, Ou) и S(Oz, Ou). На основе этого замечания по индукции доказывается
Предложение 7.1. Для любого угла а и каждого целого п 1 существует единственное целое qn ^
) Здесь под 2а понимается а + а. — Прим. перев.
244
гл. vi. метрическая геометрия
удовлетворяющее неравенствам
?„2-"co<a <(?„+!) 2"V
где (о — развернутый угол.
Дело сводится к построению полупрямых Oyqn,
лежащих в П и таких, что хОуп = q • 2~п® (О ^ q ^ 2п)у и к проверке того, что 2п угловых секторов S(Oy^9 ОУп+1) (0^^7^2"—1) при фиксированном а покрывают П.
Такая градуировка тем тоньше, чем больше п\ она позволяет нам определить «меру» углов. Предварительно мы установим лемму, которая заменит нам здесь аксиому Архимеда.
Предложение 7.2. Для любого угла а > 0 существует целое пу такое, что 2_л(о sg: а.
Доказательство. Пусть є — нижняя грань углов вида 2-/г(й, которая существует в силу следствия предложения 6.2. Так как отображение а н-^ а/2 есть строго возрастающая биекция з? на интервал [0, б] множества S0>t то
~ = inf 2~п(ду откуда 4- = є и є = 0.
1 At Є IM* 1
Отсюда следует сформулированное утверждение. ?
Следствие. Любой угол а является верхней гранью множества Еа углов вида q • 2~n<o (/igN, 0 < q < 2n)y не превосходящих а.
Доказательство, а есть мажоранта для Еа> и для каждого угла ? < а существует целое neN, такое, что 2~п<й < а — ?. Если q — наименьшее целое, такое, что q • 2~n(o > а, то угол (q — 1)2~"(o принадлежит интервалу [?, а] и Еа. Значит, а —наименьшая мажоранта Еа. ?
Определение 7.2. Мерой неориентированных углов называется любое строго возрастающее отображение
7. СЛОЖЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
245
ф: s?->R+> такое, что ф (а + ?) = ф(а) + ф (?) всякий раз, когда сумма a + ? определена.
> Теорема 7.3. Для любого действительного k > О
существует единственная мера ф на st>, такая что ф(со) = ky и ф есть биекция $?> на интервал [0, k] a R.
Доказательство. Единственность. Если такая функция ф существует, то для любой пары (п, q) положительных целых чисел, таких, что q ^ 2П, должно иметь место равенство
Ф (flr - 2"№cd) = 17 - 2"Aife. (1)
С другой стороны, в обозначениях вышеприведенного следствия, для любого угла а должно быть
Ф(а)= зирф(х). (2)
х^Еа
Соотношения (1) и (2) определяют ф однозначно.
Существование. Обратно, пусть ф есть отображение sl> в R+, определенное условиями (1), (2). Если через E обозначить множество всех углов вида q •2-"G), где целые положительные q, п таковы, что q ^ 2nt то очевидным образом
ф(* + у) = фМ + ф(у) (3)
для любой пары (х,у)^Е2, такой, что определена сумма X + у.
С помощью аппроксимации, поступая так же, как при доказательстве теоремы 1.5.2, выведем отсюда^ что (3) сохраняет силу и вообще для любой пары углов X9 у с определенной суммой X + у. Отсюда вытекает возрастание ф.
Наконец, чтобы доказать, чта ф есть биекция s4> на [0, k], достаточно заметить, что любое действительное I <= (0, k] есть верхняя грань множества D\ действительных чисел вида q-2~nk (weN, q є N>
q^2n)9 меньших |, и что угол х = sup Г4-йЛ — единственный, удовлетворяющий условию ф(х)= |. ?
246
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Можно заметить аналогию между этим доказательством и доказательством теоремы I. 5.2.
Итак, мера углов определена элементарным, хотя и строгим способом; основная идея состояла в построении градуированного «транспортира» в системе счисления с основанием 2; практическая конструкция такого «транспортира», как нам кажется, помогает понять принцип этого построения.
