Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
> Определение 12Л. Пространством аффинного типа называется пара (S9S)9 состоящая из:
a) множества S9 элементы которого называются точками-,
b) множества 3? подмножеств S9 называемых прямыми, снабженного отношением эквивалентности, именуемым параллелизмом. При этом должны быть выполнены следующие условия:
S\ Через любые две различные точки S проходит одна и только одна прямая.
S2 Через любую данную точку S проходит одна и только одна прямая, параллельная некоторой заданной прямой.
218
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
<&z Если Л, ?, С, D — четыре различные точки, такие, что прямые (AB) и (CD) пересекаются или параллельны, то и прямые (АС) и (BD) пересекаются или параллельны.
Каждая прямая содержит не менее двух точек. Тогда немедленно получим
Предложение 12.2. Пусть E — пространство проективного типа и H — гиперплоскость в Е. Назвав «прямыми» ограничения прямых E на Е\Н, а «параллельными прямыми» — ограничения прямых, пересекающих H в одной и той же точке, мы получим на Е\Н структуру аффинного типа.
Поскольку это так, легко распространить на пространства аффинного типа теорию дилатаций. Можно доказать, что основные теоремы 3.1 и 6.3 (суще-стгювание трансляций и гомотетий) применимы к каждому пространству аффинного типа, удовлетворяющему формулировке (D) аксиомы Дезарга. Обобщая построения, выполненные в § 3—7, можно вывести существование на & аффинной структуры, ассоциированной с некоторым телом, и ее «прямые» суть те же «прямые» в S (упр. V. 3).
Итак, если E — пространство проективного типа размерности п ^ 3 и H — гиперплоскость в Е, то по теореме 11.5 пространство аффинного типа Е\Н удовлетворяет аксиоме (D). Поэтому Е\Н обладает структурой аффинного пространства над телом К и H легко отождествляется с множеством «направлений прямых» в Е. Отсюда следует, что E наделено структурой проективного пространства над К. Имеет место
> Теорема 12.3, Всякое пространство E проективного типа размерности п ^ 3 имеет структуру проективного пространства, ассоциированного с некоторым телом, и его прямые совпадают с «прямыми» Е.
Непосредственное, чисто проективное, доказательство этого результата можно найти в [VE — YO], т. 2, [KE], т. 2, и [GA].
Пространства аффинного типа. Если S — пространство аффинного типа, то можно попытаться про-
12. ПРОЕКТИВНАЯ СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА 219
должить его до пространства проективного типа путем присоединения «бесконечно удаленных точек» (направлений прямых в ^), Но в общем случае это продолжение осуществляется не так быстро, как в случае плоскости: нужно действительно определить «бесконечно удаленные прямые» и проверить аксиому E29 когда некоторые из точек A9 ІЗ, С, D бесконечно удаленные. На деле быстрее действовать прямым путем, воодушевляясь проективным случаем. Так, можно доказать, что если & содержит четыре некомпланарные точки, то аффинные аксиомы Дезарга (d) и (D) выполнены. Предшествующий анализ позволит тогда дать такую формулировку:
> Теорема 12.4. Для того чтобы пространство аффинного типа допускало аффинную структуру над телом, достаточно, чтобы существовали четыре различные точки Л, B9 C9 D9 такие, что прямые (AB) и (CD) не пересекаются и не параллельны.
Заключение. Итак, случай пространств размерности ^3 улажен; случай пространств размерности О или 1 тривиален. Поэтому только «плоскости» проективного или аффинного типа выдвигают новые проблемы. Можно построить «плоскости», не удовлетворяющие аксиоме Дезарга. Изучение этих плоскостей, называемых «недезарговыми», дало толчок многочисленным исследованиям и привело к введению новых алгебраических структур (см., например, [AZ], [OS], [PI], [ST], [LU]).
Глава VI
МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ {ЕВКЛИДОВА И НЕЕВКЛИДОВА)
1. ВВЕДЕНИЕ
Напомним, что геометрия аффинной плоскости основана на следующих аксиомах: ф аксиомы плоскости аффинного типа (§ V. 1):
аксиомы инцидентности, сильная аксиома Евклида;
• малая аффинная аксиома Дезарга (d) (§ V. 3);
• аксиомы порядка, аксиома Паша и аксиома Архимеда (§ V. 9).
Для того чтобы основным полем нашей геометрии было все R, а не одно из его подполей, достаточно лодчинить его еще аксиоме (ВГ) верхней грани (§ 1.6) или взамен потребовать его максимальности (т. е. чтобы оно было наибольшим из полей, удовлетворяющих наложенным условиям, см. § 1.8): это была бы аксиома полноты Гильберта.
На достигнутом этапе нам не остается ничего более для обоснования евклидовой геометрии, как ввести скалярное произведение в ассоциированном векторном пространстве; так и делалось последние годы в курсах геометрии, и нетрудно найти изложение, ставшее уже классическим, с выводом соответствующих свойств (метрических соотношений, свойств вращений и симметрии, меры углов).
Но этот путь изложения, при котором геометрия рассматривается как некая конкретизация алгебраических структур, имеет относительно недавнее происхождение, долгими же веками геометрия воспринималась как моделирование физического пространства, и потому как проистекающая из опыта и подчиняющаяся ему. Возможность переместить фигуру, не подвергая ее деформации, входила в число основных аксиом и позволяла измерять длины и углы; прямые
