Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
такая, что 6о (D) = 6о (C)IBo (В).
Доказательство. При фиксированных на S) точках Л, В отображение f: S -> R, M ь-> 6$ (M)IBo (В) есть монотонный гомоморфизм So в (R, +), такой, что f (B)=I9 и потому равный Во. Значит, нам следует построить такую точку D, что Bo(D) = Bo(C).
Для этого проведем через О отличную от S прямую S)' и выберем точку В' на Sf \ {О} (рис. 23). Построим на Sf точку С', такую, что (CC) || (BB )у и на точку А такую, что (CD)W(B'А). Обозначив через Во гомоморфизм So в (R, +), для которого В0(В')=\, и применив теорему Фалеса 9.6, получим
208
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Qo(D) = Bo(C) = Qo(C). Следовательно, ?> — искомая точка. ?
Если обозначить абсциссу точки M на 2D в репере (О, Л) этой прямой просто как OAf, то точка D опре-
OD OA делится из равенства -= =-=-.
^ ОС OB
Итак, мы выполнили построение «четвертой пропорциональной».
Предложение 10.2. При вышеуказанных обозначениях подполе Qo (2D) не вависит ни от выбора 2D9 ни от репера (О, А) на 2D.
Доказательство. Пусть 2D, 2D'— прямые в 9і (необязательно различные), снабженные соответственно реперами (О, Л), (0',A'), и пусть р— проектирование 2D' на ZD в произвольном направлении (равное тождественному отображению при 2D' = 2D). Обозначим через Q = Qo гомоморфизм 2D§ в R9 удовлетворяющий условию Q(A)= 1, и пусть Q' — отображение 3)' в R, определенное условием
1ЧМг-<П'\ О'M Bq р (M)-Во р (Q') п
Можно проверить, что Q' — монотонный гомоморфизм 2Do в R, для которого 8'(Л')=1, и потому
он равен Qor\ соотношение (1) показывает, что 0'(Af) принимает значения в поле Qo (2D). Таким образом, имеет место включение Є# (Sb') с: Qo (2D). Меняя ролями 2D и 2D'у получим требуемое равенство. ?
Если 2D' = 2D и p==Id^, то, как показывает формула (1), при изменении репера на прямой 2D абсциссы подвергаются аффинному преобразованию.
Обозначив через подполе в R, образованное абсциссами точек какой-либо пунктированной прямой, мы сможем установить
Предложение 10.3. Если 9> — упорядоченная архимедова плоскость трансляций, то аддитивная груп-
10. АФФИННАЯ СТРУКТУРА АРХИМЕДОВОЙ ПЛОСКОСТИ 209
па ее векторов допускает структуру векторного пространства размерности 2 над полем Kp-
Доказательство, а) Поскольку сложение векторов уже определено и изучено (см. § 4), мы определим
произведение Xu ненулевого вектора и = ОА на элемент X из Kp как такой вектор OB9 что точки O9 A9 В коллинеарны и Qo[B) = X. Используя свойства проектирований, легко показать, что это определение не зависит от выбора точки О (если поместить новое
Рис. 24
начало в точку О', то точки л, В подвергнутся трансляции на вектор 00', см. рис. 24). Положим Я-0 = 0 для всех X ^ Kp.
Ъ) Фиксируем вектор и = ОА и покажем, что для любых (X9 [і) є Kp X Kp выполняется
(X + \х) и = Xu + [їй (2) и \i (Xu) = (\хХ) и. (3)
Можно считать, что и Ф 0; при и = ОА обозначим через Ф прямую (OA) и пусть точки B9 C9 D прямой Ф таковы, что
OB = Xu9 OC = IiU9 OD = Xu + IiU = OB + ОС.
Поскольку Bq есть гомоморфизм пунктированной прямой Ф0 в (R, +), то QAo(D) = QAo(B) + QAo(C) = X + \i9 откуда OD = (X + \i) U9 т. е. выполнено (2).
Чтобы установить (3), мы можем положить X Ф 0 и, значит, В Ф 0. По одному замечанию, уже сделанному при доказательстве предложения 10.1, теперь
210 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
для любой точки M прямой S) имеем Q0 (M) =
= Во {B) Во {M) = XBo {M), откуда, если OM = \iOBу
получаем Во {M) = Х\х = \хХ и OM = \х {XOA) = {\хХ) <ЭА\ это и есть требуемое равенство (3).
c) Фиксируем элемент X є Kp и покажем, что для любых векторов и, V имеет место Х(и + v) = Xu + Xv.
Можно считать векторы и, v ненулевыми; будем различать два случая.
Первый случай. Векторы и, v коллинеарны. Тогда можно положить V = ku, где k є Kp. Применяя (2) и (3), получим
Xu+ Xv = Xu + Xku = {X + Xk)u = X [(1 + k) и] — = Х(и + ku) = Х{и + v).
Второй случай. Векторы и, v не коллинеарны
Положив u = OAt v = OB, и +V = OC и аналогично
Ku = OA', Xv=OB', Х(и + v) = OC', по теореме 9.6 получим (А'С'ЩАС) и (В'С')\\(ВС) (см. рис. 25). Поскольку {OACB) — параллелограмм, то и (ОА'С'В')—
параллелограмм, откуда ОС = OA' + OB', т. е. X (и + v) = Xu + Xv.
d) Наконец, легко видеть, что при ненулевых и неколлинеарных векторах и, v любой вектор w единственным образом разлагается как w = Xu + \xv, где
->
X, \х принадлежат Kp. Итак, (9, +) в самом деле есть векторное пространство размерности 2 над полем К? при определенном нами внешнем законе умножения. ?
Отсюда выводится
> Теорема 10.4. Каждая упорядоченная архимедова плоскость трансляций есть аффинная плоскость над подполем Kp поля R.
->
Доказательство. В силу результатов § 4, (9, +) действует просто транзитивно на 9 трансляциями; отсюда следует существование аффинной структуры размерности 2 на 9. С другой стороны, каждая «пря-
11. проективные пространства
211
мая» 3) в 9 есть множество точек M9 таких, что
