Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Обратно, если плоскость ГГ, порожденная тремя неколлинеарными точками P9 Q9 R9 содержит и точки A9 B9 C9 то легко доказать, что прямые (AB)9 (BC)9 (CA) пересекаются с прямыми (PQ)9 (QR)9 (RP)9 откуда следует, что P9 Q9 R принадлежат П. Имеют место включения IT =э П и П =э ГГ, а потому ГГ = = П. ?
Предложение 11.4. Две прямые в E9 лежащие в одной плоскости П, имеют общую точку.
Доказательство. По предыдущему, мы можем предполагать, что плоскость П порождена одной из прямых, например X9 и точкой А на второй прямой. Предложение 11.2 показывает, что эти прямые пересекаются.
Следствие. На плоскостях пространства проективного типа определена структура плоскостей проективного типа в смысле определения 1.1.
Теорема Дезарга в пространстве
> Теорема 11.5. Пусть E — пространство проективного типа размерности ^3 и (A9B9C)9 (А'9 В\ С)— две тройки неколлинеарных точек, таких, что прямые (AA') 9 (BB') и (CC) различны и проходят через одну точку. Тогда точки P = (ВС)(](В'С)9 Q =
11. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
215
= (СА)(](С'А'), R = (АВ)О(А'В') (существующие по аксиоме E2) коллинеарны.
Доказательство распадается на два случая.
Первый случай. Прямые (AA'), (BB') и (CC) не лежат в одной плоскости пространства Е.
Пусть тогда П — плоскость, порожденная A1 B1 Су a IT—плоскость, порожденная Л', В'у С. Три точки P1 Q1 R принадлежат одновременно обеим плоскостям П и ГГ. Если бы они не были коллинеарными, то по предложению 11.3 мы имели бы 1I = II' вопреки предположению.
Рис. 28
Второй случай. Прямые (AA'), (BB') и (CC) лежат в одной плоскости П.
Тогда в силу условия dim(Zi) ^ 3 существует точка S е E1 не принадлежащая П. Обозначим через О общую точку прямых (AA'), (BB'), (CC) и выберем точку а на прямой (SA), отличную от 5 и Л. Тогда точки O1 ol1 S1 А' все различны и неколлинеарны (рис. 28), и поскольку прямые (OA') и (Sa) пересекаются в A1 то прямые (Oa) и (SA') имеют единственную общую точку cf/.
Три различные прямые (aa'), (BB'), (CC) пересекаются в О и не содержатся в одной плоскости. К ним применим предыдущий результат, что дока-
216
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
зывает коллинеарность точек P = (BC)O[B'С), ? = = (аС)[\(а'С) и V = (аВ)О(а'В').
Прямая (S?) является пересечением плоскости X1 проходящей через точки 5, а, C1 и плоскости Х'у проходящей через 5, а'у С. С другой стороны, П П X есть прямая (AC)1 а ПП^'— прямая (А'С'). Таким образом, прямая (S$) = X()X' пересекает плоскость П в точке Q = (AC)() (A'С) = 11 () X () X' (см. рис. 28). Аналогично, прямая (Sy) пересечет П в точке R = = (AB)O(A'В'). Таким образом, прямая (QR) есть пересечение П с плоскостью ГГ, проходящей через точки 5, ?, 7, и поскольку P лежит на прямой (?v) и в П, то P принадлежит и П f| П', т. е. прямой
.(Q*). ?
> Следствие. Для того чтобы плоскость проективного типа П могла быть вложена в пространство проективного типа размерности ^3, необходимо и достаточно, чтобы на ней выполнялась проективная аксиома Дезарга (DP) (см. теорему 7.7).
Мы видели, что это условие необходимо; обратно, если оно выполнено, то, как мы знаем, П допускает структуру проективного пространства размерности 2 над телом К и для любого натурального п ^ 3 изоморфна некоторой плоскости в Рп(К).
12. ПРОЕКТИВНАЯ СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА
Как мы объявили, мы докажем, что аксиомы Еь Es, E3 из определения 11.1 достаточны для построения на E структуры проективного пространства, если только размерность E (конечная или бесконечная) не меньше 3.
С этой целью мы вернемся к построению аффинной структуры на множестве Е\Н, полученном исключением из E подходящего подпространства Я. Установим прежде всего
Предложение 12.1. Если E — пространство проективного типа размерности ^2, то найдется по меньшей мере одно подпространство H в E9 отличное от E и такое, что любая прямая из E пересекается с Я.
12. ПРОЕКТИВНАЯ СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА 217
Такое подпространство называется гиперплоскостью в Е.
Доказательство, а) Предположим сначала, что E имеет конечную размерность п; тогда оно порождено п-\- 1 точками A0, А\, ..., An9 и Я— подпространство в E1 порожденное точками Au An. Значит, НфЕ и E порождено множеством ЯU {Ao}. Тогда из предложения 11.2 вытекает, что для каждой точки M^E прямая (А0М) пересекает Я в некоторой точке M'. Если Ж) — какая-нибудь прямая в E1 не проходящая через Л0, и M9 N— две точки на S)9 то прямые (A0M) и (A0N) пересекаются с Я в различных точках M9 N'. Отсюда выводим, что прямые (MN) и (M'N') пересекаются, и, следовательно, прямая = (MN) пересекает Я.
Ь) Если E не имеет конечной размерности, нам придется обратиться к аксиоме Цорна. Собственные подпространства E9 упорядоченные по включению, образуют индуктивное упорядоченное множество, и любой максимальный элемент Я этого множества удовлетворяет требуемому условию: достаточно повторить предыдущее рассуждение, приняв за Л0 произвольную точку в Е\Н и заметив, что Я U {A0} порождает Е. ?
Чтобы получить возможность формулировать свойства Е\Н9 мы дадим