Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лелон-Ферран Ж. -> "Основания геометрии" -> 61

Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.

Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии — М.: Мир, 1989. — 312 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osngeomlf1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 97 >> Следующая


чек 3) имеем р(А)р(В) = AB = х(А)х(В), и потому (х(В)р(В)) Il (х(А)р(В)). Обозначая через р' проектирование 3)' в направлении 6' на 3), получим т=--/ор, и поскольку р и р' монотонны при любой ориентации 3)\ то т монотонно и даже строго монотонно в силу биективности.

b) Поскольку т строго монотонно, то так же обстоит дело и с трансляцией хп на вектор пи при любом целом п ^ 1. Следовательно, пи ф 0 при п ^ 1 и, в частности, 2и ф 0. По исследованию, проведенному в § 5, отсюда следует существование вектора v> для которого и = 2v. Трансляция на вектор и сохраняет 3)у а ее ограничение на 3) является строго монотонной биекцией а, такой, что х = о°о. Отсюда следует строгое возрастание т. ?

Следствие. Две эквиполлентные пары точек (А, В), (A', В') на одной и той же ориентированной прямой 3) находятся в одинаковом отношении порядка.

В самом деле, существует такая трансляция т, что А' = х(А) и В' = х(В). ?

Эти результаты позволят нам упорядочить группу (d, +) векторов 9і с заданным направлением d. Но для большей наглядности мы используем пунктированные прямые в направлении d: пунктированной пря-

9. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПЛОСКОСТИ, АРХИМЕДОВЫ плоскости 205

мой S)0 называется прямая 3), на которой выбрана некоторая начальная точка (начало) О. Если М, N — две точки на S)0, то мы определим точку P =

= M + N равенством OP = OM + ON. Тогда SD0 превратится в группу, изоморфную группе (dy +) векторов того же направления d> что и <Ю.

Предложение 9.3. В упорядоченной плоскости трансляций каждая пунктированная и ориентированная прямая SDo является упорядоченной абелевой группой. Более того, если @)'о' — другая пунктированная и ориентированная прямая и р — проектирование Ф на Ф'у такое, что р(0)= О', то р есть монотонный гомоморфизм групп.

Доказательство. Пусть Л, ?, С—-три точки прямой 2D0y такие, что В>А,иА' = А + С,В' = В + С —

—>

точки прямой 3), определенные условиями AA' =

= ВВ' = ОС. Тогда AB = A7B' и, по предложению 9.2, В' > А'. Итак, SD0 в самом деле есть упорядоченная группа. Второе утверждение вытекает из теорем 9.1 и 5.4. ?

Архимедовы плоскости

^ Определение 9.2. Упорядоченная плоскость трансляций называется архимедовой, если каждая ее пунктированная и ориентированная прямая является ар-химедовой группой (см. § 1.5).

Предложение 9.4. Для того чтобы упорядоченная плоскость трансляций была архимедовой, достаточно^ чтобы на ней существовала пунктированная и ориентированная прямая ZD0, составляющая архимедову группу.

Доказательство. Если пунктированная прямая 3)о архимедова по отношению к одному из своих упорядочений, то же самое имеет место и для второго упорядочения; она останется архимедовой и при выборе нового начала О', так как трансляция т—3)0-+a)0,

206

ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ

является строго монотонным гомоморфизмом. Наконец, если SD'Q. —- другая пунктированная ориентированная прямая, то можно свести дело к случаю, когда Оф. SD', О'фЗ); тогда проектирование р в направлении (ОО') прямой SD0 на SD'0, будет строго монотонным гомоморфизмом по предложению 9.3. Отсюда следует, что 3)'0,— также архимедова группа.

Применением следствия из теоремы 1.5.2 немедленно получается

Предложение 9.5. Пусть SDo — пунктированная ориентированная прямая архимедовой плоскости.

Тогда для каждой точки /1є2)\{0} существует единственный монотонный гомоморфизм Во группы SDо в (R, +), такой, что Q0(A)=I.

В этом случае действительное число Qo(M) называется абсциссой точки M в репере (О, А) прямой SD\ эта абсцисса обозначается ОМ, если точка А фиксирована.

Отметим, что гомоморфизм не зависит от ориентации SD, и напомним., что он строго монотонен; если SD ориентирована так, что А > 0, то он строго возрастает.

> Теорема 9.6 (Сильная теорема Фалеса.) Пусть SD, SD' — прямые, пересекающиеся в О, А — точка на SD \ {0} и А' — точка на ЗУ \ {О}. В принятых выше обозначениях соотношение Qo(M) = Qo(M') (где Мє2) и M' S=SD') равносильно (MM') W(AA').

Другими словами, если SD, SD' отнесены к реперам (О,/!), (О, А'), то проектирование р прямой SD на SD' в направлении (AA') сохраняет абсциссы.

Доказательство. Отображение / = 0о °р есть монотонный гомоморфизм SD0 в R, для которого f (А) = 1, и потому он равен Q01. В силу инъективности гомоморфизма 0о равенство Q0 (M') = Qo(M) равносильно M' = р (M) и к тому же (MM') \\ (AA'). D

10. АФФИННАЯ СТРУКТУРА АРХИМЕДОВОЙ ПЛОСКОСТИ 207

10. АФФИННАЯ СТРУКТУРА АРХИМЕДОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Образ пунктированной прямой So при одном из гомоморфизмов Qo является, очевидно, подгруппой (R9 +)• Мы увидим, что эта подгруппа в действительности является подполем поля R (предложение 10.1) и не зависит ни от выбора So, ни от точки Л (предложение 10.2).

Прежде всего, чтобы доказать, что Во (S) — подполе поля R, достаточно установить, что частное двух его элементов ему принадлежит; это и утверждается в следующем предложении.

Рис. 23

Предложение 10.1. Пусть S)0 — пунктированная прямая архимедовой плоскости. Каковы бы ни были точки Л, Ву С из S \ {О}, найдется точка D є S \ {О},
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed