Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Предположим, что плоскость 9 удовлетворяет аксиоме (РА), и пусть (ABC), (АВ'С) — —два таких треугольника, что прямые (AA'), (BB'), (CC) различны и пересекаются в точке О; предположим, кроме того, что (A'В') || (AB) и (А'С) \\ (АС).
Обозначим через 2) прямую, проведенную через О параллельно (АС), и через D — точку 2) (](АВ) (см. рис. 20). Поскольку прямая (B'D) пересекает S)9 она также пересекает и прямую (А'С) в некоторой точке Е. Применим свойство (PA) к тройкам (D9E9 В'), (А'90,А)\ очевидные соотношения (DO)W \\{ЕА')9 {DA)W(B'А') повлекут (ЕА)\\(В'0). Отсюда
8. плоскость паппа — паскаля
201
следует, что прямая (EA) пересекает прямую (ОС) в некоторой точке F и что (FA)W(OB).
Применяя свойство (PA) к тройкам (О, C1 F) и (A1 D1 В), мы видим, что из условий (OD)W(CA)1 (ОВ)||(Л4) вытекает (CB)W(FD). Наконец, применив свойство (PA) к тройкам (O1C1F) и (E1D1B'), получим, что соотношения (OD)W(CE)1 (OB')W(EF) влекут (CB')W(FD) и, значит, (С'В')\\(СВ). Это и доказывает, что на 9і выполняется аксиома (D). ?
Рис. 20
> Следствие. Для того чтобы плоскость аффинного типа была аффинной плоскостью над полем, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла аффинной аксиоме Паппа (РА).
Возврат к проективному случаю
Из полученных результатов немедленно выводится
^ Теорема 8.2. Для того чтобы плоскость П проективного типа была проективным пространством размерности 2 над полем, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующей аксиоме:
(PP) (Проективная аксиома Паппа.) Если (Л, В, С) и (A', В', С') — две тройки различных колли-
202
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
неарных точек, то точки P = (BC)O(CB'), Q = = (СА')(](АС) и R = (АВ')[\(ВА') коллинеарны.
Отметим простоту аксиом, лежащих в основании плоской проективной геометрии.
Перейдем теперь к изучению аксиом, на которых основана плоская аффинная геометрия над полем действительных чисел (§ 9 и 10). Отправляясь от некоторой плоскости трансляций, мы введем аксиомы порядка и воспользуемся аксиоматическими ха-рактеризациями R, установленными в гл. I. Аксиомы Дезарга и Паппа появятся в этом случае как следствия аксиом порядка.
9. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПЛОСКОСТИ, АРХИМЕДОВЫ ПЛОСКОСТИ
^ Определение 9.1. Плоскость аффинного типа 9> называется упорядоченной, если на каждой ее прямой установлены два взаимно обратных отношения линейного порядка (позволяющие определить отрезки прямой) так, что выполняется следующая аксиома:
^ (О) (Аксиома Паша.) Если Л, ?, С — три неколли-неарные точки, то любая прямая, пересекающая один из отрезков [AB], [ВС], [CA], пересекает и второй.
Эта аксиома равносильна следующему свойству, позволяющему определить полуплоскости, ограниченные прямой Sb'.
> (О7) Для каждой прямой Sb плоскости ^ определено отношение эквивалентности на &>\?Ь условием: ASiB, если отрезок [AB] не пересекается с прямой SD.
Действительно, определенные так отношения симметричны и рефлексивны, а их транзитивность равносильна обратному к противоположному для утверждения (О):
«Если отрезки [AB] и [ВС] не пересекаются с прямой Sb, то с ней не пересекается и отрезок [ЛС]».
Будем говорить, что прямая ориентирована, если на ней выбрано одно из двух взаимно обратных отношений порядка.
9. упорядоченные плоскости, архимедовы плоскости 203
Теорема 9.1. Если 9>— упорядоченная плоскость аффинного типа, то проектирование ориентированной прямой S на ориентированную прямую S)' в направлении б монотонно.
Доказательство. Пусть Л, ?, С—три точки на S)1 такие, что В лежит между Л и С, т. е. принадлежит отрезку [АС], и пусть Л', В'у С— их проекции на S)' (рис. 21). Тогда прямая (BB') пересекает сторону
S)' А' В' С
Рис. 21
р(А) Я>' р(В)
ФА T(A) В т(В)
Рис. 22
[АС] треугольника (ACC), и так как она параллельна его стороне [СС']\ то она пересекает третью сторону этого треугольника [ЛС]. Аналогично, поскольку прямая (BB') параллельна стороне [AA'] треугольника (АА'С) и пересекает его сторону [ЛС7], она пересекает и сторону [Л'С] того же треугольника. Этим доказано, что проектирование сохраняет отношение «лежать между». Итак, проектирование р есть монотонное отображение, каковы бы ни были выбранные ориентации прямых S и S' (случай, когда.р(S)) сводится к одной точке, тривиален). ?
204
гл. v. аксиоматическое построение
Упорядоченные плоскости трансляций
Предложение 9.2. Если 9і— упорядоченная плоскость трансляций, то трансляции любой ориентированной прямой являются возрастающими отображениями.
Доказательство. Пусть ЗУ— ориентированная прямая в 9і и т — ограничение на ЗУ трансляции на вектор и параллельно ЗУ, сохраняющей ЗУ\ можно считать, что и Ф 0.
a) Покажем сначала, что т монотонно. Для этого выберем прямую SD'\ параллельную 3) (3)' Ф ЗУ), и проектирование р прямой 3) на ЗУ' в произвольном направлении б. Тогда направление б' прямой (х(А)р(А)) не зависит от выбора точки А на 3)
(см. рис. 22), так как для любой пары (A1B) то-
->¦ _>-->~
