Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим /конкретную модель антенны в виде линейного вибратора. Апертура такой антенны представляет собой отрезок [—а, а] вдоль оси х на плоскости х, у. Пусть распределение тока по апертуре задается функцией f(x). Вне апертуры токов нет, так что функция f(x) доопределяется на всю действительную ось условием f(x) = 0, |х|>а.
Согласно принципу Гюйгенса поле U(x, у), создаваемое распределением токов по апертуре, можно представить в виде интеграла
а
U'(*, У) = - "Г 1 Hi01)(kR)f(x') dx', (2.25)
расстояние от точки наблюде-
Н
где R = y(x-x')2+y2-ния до источника, k— волновое число, Hl(kR)— функция Хан-келя первого рода. Асимптотика поля U(х, у) в дальней зоне при 7?->-оо равна произведению расходящейся волны на диаграмму направленности F(u). После замены в формуле (2.25) функции Ханкеля на ее асимптотику для функции F(u) получается с точностью до несущественных для нашего рассмотрения числовых множителей выражение
Рис. 38. Линейная антенна на плоскости.
F{u) = ] e-ik»x'f(x')dx'.
(2.26)
Здесь u=sinft, Ф — угол между радиусом-вектором точки наблюдения и осью у (рис. 38). В силу симметрии задачи в дальнейшем рассмотрим только полуплоскость
279
y^iO, так что я/2, я/2] и 1,1]. Множество
значений ие[-1, I] называется областью видимости. В безразмерных переменных с=йа, (о=~\/си, t="]/cx/a соотношение между диаграммой направленности F(co) и распределением токов f(t) примет вид
Ус
/=¦((0)= J etwtf{t)dt. (2.27)
Из свойств преобразования Фурье следует, что диаграмма направленности F(co) —целая функция на плоскости о», а на действительной оси принадлежит классу 2?l{—оо, оо).
Значениям функции F(co) на действительной оси вне области видимости можно придать смысл из энергетических соображений. Величина
Ус
е1 = (2я)-1 j |F(co)|2dco (2.28)
-У?
пропорциональна излучаемой энергии; с другой стороны, в силу равенства Парсеваля величина
со Ус
?3 = i- j>Nl2<b = J \fU)\'dt (2.29)
пропорциональна полной энергии тока, подводимого к антенне. Таким образом, функция F(co) вне области видимости характеризует реактивную составляющую тока в антенне.
Введем коэффициент сверхнаправленности
оо
J |F(co)|2d6>
<2 = iJ = ^--. (2-30)
j ]F(co)|2da)
который определяет, насколько данная антенна является технически реализуемой и экономически выгодной. Проведя те же рассуждения, что и в п. 1 настоящего параграфа, можно показать, что величина Q для всех
280
функций F(a) ограничена снизу постоянной Qo(c), причем Q0(c)->1 и Q0(c)->°°.
Задача синтеза линейной антенны ставится следующим образом. Пусть в области видимости «е[-У с, ]/с] задана некоторая диаграмма направленности F((o) и зафиксирован коэффициент оверхнаправленности Q. Требуется найти распределение тока по апертуре f(t) так, чтобы соответствующая ему диаграмма направленности F((o) — целая функция, на действительной оси принадлежащая &2(—°°. °°), —доставляла минимум функционалу
Y2
/= (' |7?(©)- F((o)\2d(o. (2.31)
-Ус
Фуикционал / определяет среднеквадратичное отклонение заданной и искомой диаграмм направленности.
Поставленную вариационную задачу естественно решить, раскладывая диаграмму направленности F((o) по базисной системе функций. При этом наиболее простое выражение для коэффициента сверхнаправленности получается, если эта система ортогональна как на отрезке [—^с, У с], так и на всей действительной оси. Вследствие этого удобно взять в качестве базиса систему собственные функций преобразования Фурье в конечных пределах %(c, ю), обладающую свойством двойной ортогональности (см. § 2 гл. I). Как известно, эти функции выражаются через в. у.с.ф., так что базисом является система в. у. с. ф. с индексом /и = 0 и измененным масштабом
$,(с, (й) = (с)-1/4501(с, ю/у7).
Пусть функция F((o) принадлежит i?2(—]/с, Ус). Тогда справедливо разложение
00
?Н=ЦаА(с,й), (2.32)
где сходимость понимается в смысле среднеквадратичного. Коэффициенты Фурье at находятся стандартным образам. Минимизирующая последовательность FN(a>), приближающая искомую диаграмму направленности
281
F((o), строится в виде конечной суммы
FN(a>)= 2 ЬЯ,(с, ю). (2.33)
1=0
По методу неопределенных множителей Лагранжа исходная вариационная задача сводится к нахождению минимума .выражения
2 N2 - 2 Re 2 (а„ Ь,) + 2 N2 1 + Ь ~ Q X I' (2-34)
I—п (=п /=п l \|г " / j
1=0 1=0 1=0
Здесь использована найденная в § 2 гл. I нормировка функций ip,(с, ю)на всей действительной оси ( — со, оо). Величина % есть неопределенный множитель Лагранжа. Минимум выражения (2.34) достигается при следующих коэффициентах:
где fi((c) —собственные значения интегрального уравнения (2.27) гл. I. Множитель % находится из условия
—^-^ = °> (2-36)
которое следует из формул (2.30), (2.33) и (2.35). Таким образом, формальная процедура нахождения минимизирующей последовательности определена. Более сложный математический вопрос, существует ли предел FN((o) при N—>-оо, и будет ли он принадлежать классу допустимых диаграмм направленности, т. е. целых функций, интегрируемых с квадратом на действительной оси, здесь не обсуждается. Распределение токов по апертуре fif(t) может быть найдено по диаграмме направленности FN((o) с помощью обратного преобразования Фурье. Используя тот факт, что функции if, (с, ю) являются собственными функциями преобразования Фурье в конечных пределах, окончательно получаем
