Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Дифрагированное поле Яф также представляется в виде ряда по сфероидальным функциям
Яф = |j BiSu(c, ц) R\f (с, I) R\f (с, у. (1.6)
Коэффициенты Bt находятся из граничного условия (1.2), которому удовлетворяет суммарное поле Яф-f Н\,:
Al E.M3?(c6.) + (Eo2-i)Mf («Л)' У ' '
Таким образом, для полного поля Яф получается следующее выражение:
Яф =--Щ= Г у Jl±L Su (с, ц) Ru{c, U) X
loRufr So)+ (6§(C to) n(3) . Fv M o.
X
Важной [характеристикой является диаграмма направленности fift), характеризующая зависимость дифрагированного поля от угла Ф в дальней волновой зоне. С точностью до несущественных множителей она равна
loRuic, U)+{t2Q-\)R'u(c,U) X Ru (с, У |оМз) (с> go) + (Е2 _ ,) ^з,- (с_ U) • (1.9)
268
Графики диаграмм направленности при различных значениях параметров приводятся в монографии Bowman, Senior, Uslenghi (1969). В предложенном выводе формулы (.1.8) использовалось известное выражение для поля электрического диполя (1.1). Можно было бы исходить из неоднородного уравнения для потенциала Абра-гама (ом. введение (3.11)) и строить разложение функции Грина по сфероидальным функциям аналогично тому, как это было сделано в § 7 гл. I.
3. Собственные колебания типа «прыгающего мячика» внутри сплюснутого сфероида. Среди всех высокочастотных собственных колебаний резонаторов наибольшее значение имеют колебания типа «прыгающего мячика», сосредоточенные в окрестности минимального диаметра, и (колебания типа «шепчущей галереи», сосредоточенные в окрестности геодезических на границе резонатора. Такие .колебания общего вида для произвольной области интенсивно исследуются в-последнее время в связи с потребностями техники лазеров (Вайн-штейн, 1966, Бабич и Булдырев, 1972). Простейшей моделью колебаний типа «прыгающего мячика», где можно провести детальное исследование, являются высокочастотные колебания, сосредоточенные вблизи малой оси сплюснутого эллипсоида вращения.
Будем исходить из скалярной краевой задачи внутри эллипсоида, заданного уравнением | = 1о:
(Д+й2)ы-0, (1.10)
«U-6.=o. (l.ii)
По методу разделения переменных в сплюснутых сфероидальных координатах собственные функции "mi,(|, г), ф) ищутся в виде
«WS, Л. q>)=#mi(p, mSm.iP, ц)е±ш\ (1.12) где p = kd/2, d — расстояние между фокусами эллипсоида (d=~\/a2—b2, а и b—соответственно большая и малая оси эллипсоида).
Локализация функции umlq в окрестности малой оси эллипсоида при больших р отвечает локализации функции Sml(p, г]) в окрестности точек г| = ±1. Как следует из асимптотических формул § 5 гл. I, это происходит при малых значениях индексов т и I. Оставшийся индекс q должен быть большим.
269
Произведем разбиение функций umlq(\, ц, ср) на два ¦липа: симметричные относительно плоскости ху и антисимметричные.
Спектр собственных волновых чисел k = kmlq в соответствии с (1.11) находится ив условия
Я
ml
kd
я
ml
kd 2
i4- =0.
0-13)
Использовав асимптотические формулы (5.101) и (5.105) гл. I, получим из (1.13) следующее дисперсионное уравнение для собственных волновых чисел k, отвечающих симметричным решениям:
kb_ _ 29+1 2 . 6 2(х2 + т)& ~ ~ П + 2* 3rctg Т + k(b2 + d2) +
^ k2d2
(b2 + d2)
Х(1+Х2 + т)^3 [ х(Х2 + т)М
+ 0(й-з). (1.14)
б2 + d2 1 2 (б2 + d2)
Пара/метры % и т определяются так же, как в § 5 гл. I:
I — m четное,
т = ¦
1
1 + 1
4-. I
m нечетное.
Дисперсионное уравнение, отвечающее несимметричным решениям, отличается от (1.14) заменой (2^+1)/2 на q. Индекс q равен числу геометрооптичеаких полуволн, укладывающихся вдоль оси вращения эллипсоида.
Введем безразмерный параметр g, часто употребляемый в кваз'иоптичеюких задачах
_ d2 — б2___Ь_
S ~ d2 + б2 ~ 1 R '
где R — радиус кривизны поверхности эллипсоида на его оси. Решая итерациями уравнение (1.14) и аналогичное уравнение в антисимметричном случае, получим следующее асимптотическое разложение для волновых чисел:
'm tq
qn,
2Х
?- + -^arccosg +
2(x2 + T)(l-g)
щЬ
4
+
2/1
n2q2b
х(х2 + т + 1)(1-^) + х(х2 + т)-г+7
4х(Х2 + т)(1— g) arccosg
n2q2b
+ 0(q-*). (Ы5)
270
Видно, что если ограничиться двумя главными членами в (1.15), то имеется вырождение по / и т, связанное с симметрией вращения. Кроме того, если параметр
а = -^-arccos g рационален, то есть дополнительное вы-
рождение, имеющее динамическую природу и играющее важную роль во всех общих построениях для колебаний типа «прыгающего мячика» (ом. Бабич и Булды-рев, .1972). Оба типа вырождения снимаются последующими слагаемыми асимптотического разложения.
§ 2. Применения сфероидальных функций, связанные с интегральными уравнениями
1. Принцип неопределенности в оптике и радиотехнике. В квантовой механике хорошо известен принцип неопределенности Гейзенберга, согласно которому нельзя одновременно задать точно координату и импульс частицы. В оптике и радиотехнике часто используют следующий принцип неопределенности: для очень (кратковременных сигналов нельзя одновременно сохранить спектр, близкий к монохроматическому. По существу принцип неопределенности справедлив для любых двух величин, связанных между собой преобразованием Фурье.
