Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Комаров И.В. -> "Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции" -> 75

Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.

Комаров И.В. , Пономарев Л.И., Славянов С.Ю Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции — М.: «Наука», 1976. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): komarov_sferoidal_fnktsii1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 88 >> Следующая

Решения уравнения Шредингера 4rmg(r, ft), полученные при разделении переменных, являются собственными функциями трех коммутирующих операторов: Н, Ц, А, собственные значения которых есть энергия Е, квадрат азимутального квантового числа т и константа разделения X соответственно. (Для задачи ZxeZ2 операторы Н, L\, А приведены в п. 1 § 8 гл. П.) При положительной
288
энергии можно считать, что оператор Л зависит от c2^=Ed2/2 как от параметра, и рассматривать его действие не в трехмерном координатном пространстве, а на единичной сфере с координатами t) = cos't>/, ф
Л - -i (1 - Л2)~- + I- сЦ\- т|«) — (Ti)l —
1 MJ
1 — 1]2 _ dcp2 Собственные функции оператора Л
(3.5)
Щт(п') = Ут(г\)^=- (3.6)
образуют полную ортонормированную систему на этой сфере.
Найдем связь собственных функций оператора Л с собственными функциями оператора рассеяния 5. Асимптотика решения 4rme(/", ft) при г->оо с помощью (3.4), (3.6) представляется в виде
1 г i (kr—~iq+m)+A )
Г >ОС ^"<Г
_ е~1 {kr~bq+m)+timq) (3-7)
Здесь учтено, что при удалении от рассеивающего потенциала сфероидальные координаты переходят в сферические с центром в начале координат \—>2rld,
Г-»со
r|=cos0'-»-cos0 (9 — угол между единичным вектором
п=г/г и осью z). Асимптотика любого решения уравнения Шредингера при ?>0, г-+оо выражается с помощью оператора рассеяния 5, действующего в координатном пространстве на единичной сфере
?(r)= -jl {е"»$Р(-п)-е-*гР(п)}, (3.8)
где F(n)—некоторая функция углов. Введем оператор инверсии в начале координат
IF(n)=F(-n). (3.9)
Сравнение асимптотического выражения для л?т{г, ft) (3.7) с формулами (3.8), (3.9) показывает, что собственные функции оператора Л являются одновременно
19 и. В. Комаров и др. 289
и собствеными функциями унитарного оператора SI
S12?mq{n) = e 1 тч 2 }<Ут<,(п). (ЗЛО)
Соотношение (3.10) позволяет построить разложения амплитуды рассеяния по функциям ^mg(n).
Матричные элементы оператора рассеяния на собственных функциях оператора константы разделения равны
^ 2i(\ ~-^-(q+m)\
<mq\S\q'm'y = е У т 2 > (mq\l\q'm'). (3.11)
В этом представлении матрица рассеяния, вообще говоря, недиагональна. Она становится диагональной, когда операторы инверсии и константы разделения коммутируют, т. е. при рассеянии на потенциалах, обладающих центром инверсии. (В этом случае Ь(ц)=Ь(—ц)—четная функция.)
Из соотношения между оператором 5 и оператором f, матричные элементы которого дают амплитуду рассеяния,
5 -1+1? (3.12)
следует выражение для амплитуды через угловые функции Ymq(r\) и фазы Amq
1 "
f {п, я0) = -щ- 2 (2 — 60m) cos т (ф — ф0) У,пц (cos 9) х
X {е2'(А""-Т")кт? (- cos е0) - Ymq (cos в0)}. (3.13)
Углы (G, ф) и (G0, фо) определяют ориентацию векторов n=rjr, na=kfk относительно оси z; cosQo^no.
Соответствующие разложения для полного сечения а и полного сечения, усредненного по ориентациям рассеи-вателя, а имеют вид
о 03
° = 1Г 2 (2 _ бо^ (Т1о) + Y'^{- ^о) " т,<7=0
- 2cos(2Ami?- я«7)Кга,(т10)Кт(,(— щ)\ (3.14)
2'jO
и
т,<7=0 I
X Jrm,h)W-»l)*lJ. (3-15)
При наличии у потенциала центра инверсии, когда угловые функции являются собственными функциями оператора рассеяния, выражения (3.13), (3.14), ХЗ. 15) упрощаются и переходят в привычные формулы для амплитуды и сечений в 5-представлении (Демков, Рудаков, 1970).
В сплюснутых сфероидальных координатах разложения (3.13) — (3.15) остаются верными, если под г) и Дтд понимать угловую переменную и фазу радиальной функции в сплюснутых сфероидальных координатах.
При анализе рассеяния на потенциале, имеющем ку-лоновское поведение на больших расстояниях, непосредственно пользоваться формулами (3.13) — (3.15) нельзя. Так же как и в центрально-симметричном поле, разбивают потенциал взаимодействия V на чисто кулоновский потенциал V0, для которого известно точное решение, и добавочный быстро убывающий потенциал V и представляют амплитуду рассеяния в виде суммы чисто ку-лоновской амплитуды и добавочного члена. Заряд, создающий кулоновское поле, удобно поместить в один из полюсов выбранной вытянутой сфероидальной системы координат; в какой именно определяется лишь соображениями удобства, Поместив кулоновский заряд в левый полюс (г) —— 1), имеем
V = V°i+Vu (3.16)
2 fl(?- Л)
v =-4г
2_
d2
d2 Z2-
«i (Б) + bi (Л) l2-rf
ц2
(3.17)
Mi) = а bx (г)) = b (г,) + ai\. (3.18)
Здесь Z=/,,4-Z2 — .заряд опорной одноцентровой 19* 291
кулоновской задачи,
a=Zd,
причем Й! (?) -» const.
При разделении переменных в уравнении Шредингера с потенциалами V и Vi0) возникают две системы угловых функций: Ymq(r\) и Emq(c, —а; ц). Соответствующие радиальные функции Xmq(l) и Umq(l) =Um(c, а hmg(c, а); |) имеют одинаковый асимптотический вид при |->оо и отличаются лишь фазами
Xmq {%Zo 'кsin (cl+уЛп 2cl ~ т{q + т) 4' А"4 (3-19)
Пт,(В)~ ±5т(с1 + у1п2с1-~(д + т) + АЦ, (3.20)
где Y=a/(2c) = Z/fe, c=kd/2.
Амплитуда рассеяния на потенциале V представляется в виде суммы двух слагаемых
f{n, n0) = f°i(n, п0) +
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed