Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
nq + {m+ п+ 1)у
(2.48)
Видно, что спектр конфокального резонатора сильно вырожден*). Это вырождение связывают с тем обстоятельством, что геометрооптические лучи в конфокальном резонаторе после четырех отражений замыкаются сами на себя. Вследствие беаконеч-нократного вырождения частот конфокального резонатора следует относиться с осторожностью к попыткам некоторых авторов использовать сфероидальные функции в качестве невозмущенного базиса при рассмотрении возмущений конфокального резонатора.
С помощью асимптотических свойств сфероидальных функций могут быть также вычислены такие важные характеристики волнового поля в конфокальном резонаторе, как размер светового пятна, расходимость лучевой трубки излучения и т. д. За подробностями этих вычислений мы отсылаем читателя к специальной литературе, приведенной в библиографических указаниях.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Вопросы, разобранные в этом параграфе, и близкие к ним, значительно более полно изложены в монографиях Минковича и Яковлева (1969), Хургина и Яковлева (1971), обзоре Frieden (1971). Большое число оригинальных работ собрано в книге «Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике», перевод и научная обработка Размахнина и Яковлева (1971). Во всех перечисленных книгах содержится обширная библиография. В связи с этим мы здесь укажем 'лишь основные этапы в развитии рассмотренной группы применений сфероидальных функций. Основополагающим следует считать цикл статей Slepian, Pollak (1961), Landau, Pollak
*) Вырождение спектра конфокального резонатора тесно связано с вырождением в первом приближении спектра колебаний типа «прыгающего мячика», рассмотренных в предыдущем параграфе.
286
(1961, 1962), где было доказано свойство двойной ортогональности сфероидальных функций, сформулирован принцип неопределенности в терминах сфероидальных функций, намечены основные направления приложений. Интегральное уравнение в задаче дифракции Фраунгофера на щели было известно Мандельштаму (1948) еще в 1912 г., но в то время сфероидальные функции не были достаточно изучены. Изложение этого вопроса в настоящем параграфе базируется на статьях Barnes (1966) и Brown (1969). Последовательное применение сфероидальных функций в задаче синтеза антенн содержится в статье Rhodes (1963). Boyd, Gordon (1961) первыми рассмотрели собственные колебания открытого резонатора с помощью сфероидальных функций. Более полные сведения о роли сфероидальных функций в теории открытых резонаторов имеются в книге Вайн-штейна (1966). В настоящем параграфе нет приложений сфероидальных функций к теории связи, поскольку изложение этого круга вопросов требует предварительного введения многих специальных понятий. С приложениями в теории связи читатель может ознакомиться по книге Хургина и Яковлева (1971).
§ 3. Рассеяние на потенциалах, допускающих разделение переменных в сфероидальных координатах
Задача о квантовомеханическом рассеянии частицы силовым полем V(r) состоит в нахождении амплитуды рассеяния /(л, п0), которая определяет асимптотику решения уравнения Шредингера в этом поле
AW+[k2-2V(r)]W = 0, ? (г, k) = е'*<""Л -f f {п' По) eikr. ^' ^
г->оо г
Здесь n=r/r, n0=k/k.
Хорошо известно, что для сферически симметричного потенциала амплитуда f(n, п0) может быть представлена в виде ряда по полиномам Лежандра, коэффициенты которого связаны с фазами радиальных функций. Аналогичные разложения по соответствующим угловым функциям уравнения Шредингера справедливы и для потенциалов, допускающих разделение переменных в сфероидальных координатах. В отличие от сферически симметричного случая, информацию о рассеивающем сфероидальном потенциале несут, вообще говоря, не только фазы радиальных функций, но и угловые гармоники, которые зависят от угловой части потенциала Ь(ц) и энергии столкновения. Остановимся на этом вопросе подробнее, выбрав для определенности аксиально-симметричный
287
потенциал
у = -*°Щ±Ш, (3.2)
допускающий разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах. Сначала рассмотрим случай, когда потенциал убывает на бесконечности быстрее ку-лоповского, так что а(?) -*- const при |-»-.оо. Подставляя волновую функцию
Vmq(r, ft) =Xmq(l) Ym(i\)e*im* (3.3)
в уравнение Шредингера, получаем для Xmq(i,) и ^тЛл) систему уравнений (2.13), (2.14) введения, в которой ц.—т2.
Краевая задача Штурма—Лиувилля для углового уравнения (2.13) введения аналогична краевой задаче (1.14) гл. II, порождающей у. к. с.ф. с-типа. Собственные функции Утч(ц) можно выбрать действительными, а соответствующие им собственные значения Ктч(с) образуют дискретный невырожденный набор для широкого класса потенциалов Ь(ц).
Индекс q=0, 1, 2, ... указывает число нулей угловой функции. Функции Ymq(r\) при различных q и одинаковом т образуют полную ортонормированную систему на отрезке [—1, 1].
Радиальную функцию Хтч{\), соответствующую константе разделения Xmq(c) и конечную при |=1, нормируем ее асимптотикой
Xmqa)~±sm(ct-^^ + AmX с=?. (3.4)
Фазовые сдвиги Дш, характеризуют влияние потенциала на движение рассеиваемой частицы. Если потенциал отсутствует а(?)^0, Ь(ц)=0, то функции ^m9(l) и Ymq(r\) переходят в вытянутые сфероидальные функции Rmi(c, ?), Sml(c, л), l=q+m, для которых сдвиги фаз обращаются в нуль Ат,=0.
