Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
2М
VxQjj (R) + 2Qjj. (R) v«] Ь' (Я) = ЕЬ (*)• (4-4)
Здесь M = M0/m, Еу (R) = ENbn(R) —термы задачи двух центров,
Qjj'(R)= f ЛгФ*у(г; R)(-vR)Oj>(r; R),
(4 5)
Hjj.(R)= fdrvA^; R)VR®r(n R)
— матричные элементы по волновым функциям задачи двух центров. Усредняя уравнения (4.4) по угловым переменным вектора R перейдем к бесконечной системе
295
одномерных уравнений для радиальной части %(/?) вол-новой функции чр (/?)
Ха (R) + 2М [e-va(R)\ la (R) = 2 Vofl (R)n(R)- (4-6)
Здесь индексы а и p1 означают набор / квантовых чисел электронного движения, а также набор квантовых чисел волновой функции, представляющей относительное движение 'ядер.
Оставляя в стороне довольно сложный вопрос постановки граничных условий для системы уравнений (4.6), наметим схему решения двух основных задач, упомянутых вначале.
Используя малость параметра 1/(2М), систему (4.6) можно решать, например, по теории возмущений. При отбрасывании недиагональных матричных элементов (что оправдано при М^> 1) система (4.6) распадается на независимые уравнения для функций ia{R), которые представляют относительное движение ядер в эффективном потенциале
va(r) = Ej(r) + + 27й"Hjj<R) + -
где / — полный момент системы трех тел.
Такое приближение называется приближением Борца — Оппенгеймера. Оно нашло приложения при описании колебательного и вращательного спектров молекул. В приближении Борна—Оппенгеймера задача отыскания дискретного спектра системы трех тел сводится к решению одномерного уравнения Шредингера
в котором состояния .нумеруются шестью квантовыми числами: три от электронного движения j-(Nlm) и три от ядерного \= (vJnij), где т} — проекция полного момента / на неподвижную ось z, a v — вибрационное квантовое число, равное числу тулей функции %.jv(R)-
Наиболее подробно изучена система Hj>~ (молекулярный ион водорода), значение которого в теории молекул можно сравнить с ролью атома водорода при
2MW
ХМЮ-О, (4-8)
296
расчетах атомных структур. В частности, знание свойств Hf необходимо при решении различных вопросов
10
а)
Рис. 41. Слагаемые эффективных потенциалов Vj(R) (4.7) для системы 2\ — Z2—\. а) Полная энергия в состояниях lsa(Wg) и 2ра (№и), б) диагональные матричные элементы
' Af2 - М1 Af2 + Afx
*« (Л) =+
U \2 *
определенные формулами (4.5).
астрофизики, физики плазмы, теории химической связи, в задачах атомной физики и т. д. На рис. 41 изображены термы
297
и матричные элементы Hjj(R) системы \\f в электронных состояниях lsag, /'=(100) и 2ро„, /=(210). В потенциалах Vm(R) = Vs(R) и V2W(R) = VU(R) при /=/п,=0 существует 20 и 2 колебательных уровня соответственно. На рис. 42 и 43 представлены радиальные части волновых функций xjv(R) колебательного движения ядер, соответствующие колебательным состояниям и=19 для
0,2
0J
........!
V
Рис. 42. Радиальная волновая функция %jv(R) относительного движения ядер системы H;>~ в колебательном состоянии й = 19, v= (1900), /=(100).
Рис. 43. Радиальная волновая функция xJV (R) относительного движения ядер системы Н|* в состоянии v=(200), /=(210).
потенциала Vg(R) (Wind, 1965b, Beckel и др., 1970) и v=2 для потенциала VU(R). Это состояние соответствует неглубокому минимуму потенциала VU(R), расположенному при R& 12,55 (Peek, 1969). Аналогичные расчеты проведены для потенциалов V'(R), соответствующих электронным состояниям 2рли (Beckel и др., 1973) и 3doe (Shaft, Beckel, 1973).
iB задачах рассеяния, когда изучается переход системы трех тел из одного электронного состояния в другое, например возбуждение атома при столкновении с ядром, необходимо учитывать недиагональные матричные элементы Qjj'(R) и Hjj'(R). Такое расширение метода Борна — Оппенгеймера получило название метода возмущенных стационарных состояний (метод ВСС, или PSS — perturbed stationary states). Этим методом удается решить довольно обширный класс задач атомной и ме-зоатомной физики, среди которых упомянем лишь некоторые.
298
В атомной физике к числу таких задач относятся симметричная перезарядка протонов на атомах водорода в основном состоянии при малых энергиях столкновения (е^б эв)
p+H(ls)—*-H(\s)+p,
п перезарядка атомов водорода на дейтонах d+H(ls)^D(ls)+p.
Квантовомеханический расчет этих реакций имеет большое методическое значение, поскольку это одна из немногих задач квантовой механики с реальным потенциалом, допускающая корректную постановку, и достаточно точное решение.
В последнее время адиабатическое представление в задаче трех тел нашло применение в мезоатомной физике. Благодаря малой величине мезоатомов почти все мезоатомные процессы протекают внутри атомных оболочек и не осложняются влиянием электронов, как это имеет место в атомных столкновениях. Развитый метод с успехом был применен для расчета энергий связи ме-зомолекул, а также сечений мезоатомных процессов в смеси изотопов водорода. В частности, были рассчитаны такие реакции, как:
реакция перезарядки
рц+d—yd\x+p, упругое рассеяние
dn+p—>-rfn+p, образование мезомолекул
du.+H2—у р dn+H+e,
катализ ядерных реакций при столкновении мезоатомов
