Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
а
f(x) = j h(x-x') g(x')dx'.
—a
Часто дополнительно рассматривают внесение прибором в изображение собственных помех &(х), называемых измерительными шумами, что приводит к уравнению
а
/(х) = j h(x-x')g(x')dx' + г(х). (2.17)
—а
О 0,2 0,4 0,0 0,8 1 хг
Рис. 36. Допустимая область изменения меры сосредоточенности сигнала а и его спектра Р в соответствии с принципом неопределенности (2.14) при с = 1.
18*
275
Можно рассматривать и шумовой фон в пространстве объектов.
Важнейшими задачами теории линейных приборов являются восстановление сигнала по изображению и учет влияния шумов ,на точность восстановления сигнала. С математической точки зрения эти задачи сводятся к решению уравнений Фрвдгольма первого рода с проведением -последующих оценок для этого решения. Здесь нет возможности подробно остановиться на всех аспектах этой сложной проблемы*), которую исследовали различными методами. Рассмотрим лишь частный случай, когда для решения ее могут быть применены сфероидальные функции.
Пусть оптический прибор, формирующий изображение, состоит из телескопической системы линз и диафрагмы в виде бесконечной щели ширины 2а. Считаем, что система линз действует как идеальный оптический
Рис. 37, Формирование изображения по Фраунгоферу.
прибор, т. е. без учета диафрагмы объект и изображение одинаковы. Тогда аппаратная функция определяется действием диафрагмы. Подобное формирование изображения в оптике называется дифракцией Фраунгофера на щели. В дальнейшем рассмотрении исключим координату z вдоль -щели и перейдем к двумерной постановке задачи на плоскости х, у (рис. 37). Поскольку объект и изображение в этом случае характеризуются одной координатой на фокальных прямых, соответствующее интегральное уравнение теории измерений является одномерным. В курсах оптики (см., например, Борн и Вольф, 1973) доказывается, что аппаратная функция для рассматриваемого процесса при условии, что от
*) Как известно, задача решения уравнений Фредгольма первого рода является некорректной и требует определенной регуляризации.
Z
276
различных точек источника идет когерентное излучение, представляется следующим образом:
X — X
sin—j—
Здесь d — так называемое расстояние разрешения по Рэлею.
Введем безразмерный параметр с—a/d и перейдем к новым безразмерным переменным, сохранив для них старые обозначения
Т/с——>х, Vc——>х'. 'а ' ' а
В таких переменных основное уравнение для процесса измерения без шумов имеет вид
f^As^u^fe{x')dx'- (2л9)
-Ус
В § 2 гл. I показано, что нормированные собственные функции tfi;(c, х) однородного уравнения Фредгольма второго рода с тем же ядром, что и в (2.19), выражаются через с. у. с. ф.
х)=!(с)-1/4?0г(с, х/Ус). (2.20)
Соответствующие собственные значения в обозначениях § 2 гл. I есть |ц,(с) |2/(2я).
Пусть gi и /,—{коэффициенты Фурье разложения функций_ g(x)^2,2(— У~с, Ус) и f(x) на промежутке (—fc, ус) но ортонормированному базису ф (с, х), т. е.
Ус
g/ = f g(x)$i(c,x)dx, (2.21а)
-Ус Ус j
/, = J Г(х) ^r(c,x)dx. (2.216)
-Ус
Тогда, подставив эти разложения в уравнение (2.19), получим формулу, связывающую 'коэффициенты Фурье
gl и
f, = 4PBr (2-22)
277
Формула (2.22) устанавливает теоретическую возможность точного восстановления функции g(x), т. е. объекта, по функции f(x), т. е. изображению*). Однако процесс восстановления является некорректной операцией в том смысле, что малое изменение коэффициентов /г может приводить .к большому изменению коэффициентов gh Это следует из того, что, как показано в § 4 гл. I, величины |яг быстрее, чем экспоненциально убывают по модулю с увеличением /. Практически резкое убывание начинается со значений />2с/я (ом. рис. 8). Тем не менее, как показывают конкретные расчеты, ограничиваясь конечным числом членов ряда Фурье для g(x) и проводя вычисления с большой точностью, можно получить восстановление объекта по изображению, лучшее чем это определяется классическим критерием Рэлея. Конкретные примеры расчетов приведены в статье Barnes (1966).
Введение в рассмотрение измерительного .шума г(х) приводит к уравнению
Ус
-Ус
Здесь надо особо выделить случай, когда шум г(х) представляется через ядро интегрального оператора в (2.23)^ т. е. имеет финитный спектр в промежутке [—Ус, ус]. В этом случае коэффициенты Фурье ег шума быстро убывают и такой шум относительно мало сказывается на восстановлении сигнала. В противном случае, из формулы
следует, что коэффициенты gh вообще говоря, быстро растут по модулю. Таким образом, шум с нефинитным спектром приводит к значительным погрешностям при восстановлении сигнала.
3. Задача синтеза линейной антенны. Задача синтеза в теории антенн ставится следующим образом. Задается расположение и форма излучающих поверхностей, так называемый раскрыв или апертура антенны. Требуется
Предполагается, что решение уравнения (2.19) существует.
278
найти такое распределение токов по апертуре антенны, которое обеспечивало бы наилучшую аппроксимацию заданной диаграммы направленности, при дополнительном условии, чтобы отношение всей подводимой к антенне мощности к излучаемой мощности было бы не слишком велико.
