Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
+ Ik 2 <2 - б°"Л cos w (Ф - Ф») [e8,Am'^m, (- Ло) X
т,<7=0
X Гад(ч)-е21'Д'вдЕт,(с, - а; -ц0)Ёт,(с, -а; ху)\, (3.21)
где /?(я, п0) — хорошо известная амплитуда рассеяния в кулоновском поле — Z/r,
X exp f i [- y 1п 5- (1 - (я, »0) + 4 (d> л - »о) + 2б0]},
(3.22)
60=argr(l—iTf).
Можно поместить заряд опорного кулоновского потенциала в правый полюс сфероидальной системы координат (т) = +1). Тогда в формуле (3.21) для амплитуды достаточно поменять знаки аргументов кулоновских функций на противоположные и домножить кулоновскую амплитуду на фазовый множитель ехр{—ik(d, п—га0)}.
292
Если угловые функции У^Лм) совпадают с у. к. с. ф. Зт,(с, —а; г|), то разложение (3.21) становится вполне аналогичным по форме соответствующему разложению в центрально-симметричном случае.
При описании рассеяния на двух кулоновских центрах формула (3.21) упрощается. Угловые функции системы Z\eZ2 при положительных энергиях совпадают с угловыми функциями в сфероидальных координатах подородоподобной системы с зарядом Z2—Z\ (п. 6 § 3 гл. II). Вводя стандартное обозначение Ъ= (Z2—Z\)d, получаем для амплитуды рассеяния на двух кулоновских центрах
/(«, л0) = /, (п, п0)+ (-1)<(2-60т)х
т,<7=0
X cos /л (ф - фо) [е2^т"Вт1! (с, Ь; —1)0) Ёт (с, Ь\ х\) -
- е2''Л^1 т (с, - а; - т,0) Ётц (с, - а; г,)]. (3.23)
Разложения для амплитуды рассеяния, приведенные в данном параграфе, легко обобщаются на случай неаксиально-симметричных потенциалов, допускающих разделение переменных в сфероидальных системах координат (см. (2.10), (2.11) введения). Основная формула (3.10) остается справедливой, если под *Щ (п) подразумевать функции вида
^(/г) = Уи(г))^(ф)- (3.24)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Задачу рассеяния в сфероидальной системе координат изучали Stier (1932), Fisk (1936), Nagahara (1953, 1954), Нага (1969), Shimizu (1963), Takayanagi (1967), Takayanagi, Itikawa (1968), Garrett (1971). Abramov. Komarov (1973), Li (1971, 1972, 1974) и др.
Изложение в даииом параграфе следует работе Абрамова и Комарова (1975). Обычно ограничиваются задачами рассеяния, угловые функции в которых совпадают со сфероидальными. В этом случае при выводе фазового разложения для амплитуды рассеяния применяют разложения плоской волиы по сфероидальным гармоникам § 7 гл. I. Shimizu (1963) предложил разложения амплитуды рассеяния на дипольном потенциале по сфероидальным функциям. Такая постановка представляется излишне усложненной, так как оиа требует, кроме нахождения угловых функций и фаз, обращения вспомогательной бесконечной матрицы.
293
§ 4. Применение решений задачи двух центров
в задаче трех тел, взаимодействующих по закону Кулона
Решения задачи двух центров ФДг; R), построенные в § 3 гл. II, служат базисом, по которому разлагаются решения более сложных задач, например волновые функции задачи трех тел с кулоновоким .взаимодействием. В этом параграфе мы кратко поясним схему решения задач подобного типа.
Стационарное уравнение Шредингера для системы трех частиц с массами Ми М2, М3 и зарядами Zb Z2, —1 после отделения координат центра инерции системы имеет вид
1
2М,
z,z
R
z,
Гл
jf)w(r, R)
^EV(r,R). (4.1)
Уравнение (4.1) записано в одной из систем координат Якоби, для которой:
J__i_.i_ 1 _ 1 | 1
М0 Мх ~* М2' т Ма ~ Мх-\-М2'
Здесь R — вектор, соединяющий заряды Z, и Z2, г — вектор, проведенный из центра масс частиц М\ и М2 в точку нахождения частицы с массой М3, Т\ и г2—расстояния до частицы Мъ от частиц М{ и М2 соответственно (рис. 40).
Из уравнения (4.1) находят либо энергию связанного состояния системы трех тел, либо матрицу, рассеяния, которая описывает процессы перераспределения частиц в системе трех тел при столкновениях.
Один из возможных методов решения задачи (4.1) состоит в следующем. Волновую функцию W (г, R) разложим по волновым функциям задачи двух центров
Y(r, R) = '?<bj(n R)*j(R) +
т-21<**Ф*,С". k, R)ynq(R) (4.2)
q,m
Рис. 40. Система координат и основные величины в задаче трех тел.
294
(в дальнейшем интеграл по непрерывному спектру будем опускать).
Разложение (4.2) называют адиабатическим представлением задачи трех тел. Оно наиболее естественно при вычислении сечений рассеяния в столкновениях типа
№+'4+'сад" <4'3)
в которых отсутствуют состояния трех несвязанных частиц. Особенно эффективно адиабатическое представление при малых энергиях столкновения и больших массах Mi и М2 ядер Z\ и Z2.
В этом случае скорость электронного движения значительно больше скорости относительного движения ядер, и в нулевом приближении движение электрона с хорошей точностью можно рассматривать при неподвижных ядрах.
Движение ядер описывается при этом системой уравнений Шредингера с некоторыми эффективными потенциалами, создаваемыми усредненным движением электрона.
Подстановка разложения (4.2) в уравнение (4.1) и усреднение по координатам г с учетом уравнения (3.1) гл. II приводит к бесконечной системе уравнений для функций я|)j(R)
1 Л I ^1^2
Л* + + Ej(R)] Ь(R) + w2 [HJr (R) +
