Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
В оптике и радиотехнике обычно применяется следующая конкретная количественная формулировка принципа неопределенности. Пусть функция f(t) описывает временной сигнал, а функция /"'(со) —его спектральную характеристику. Определим среднеквадратичную длительность сигнала
00
<Т>2 = -
} \f(t)\*dt
(2.1)
— оо
н среднеквадратичную ширину спектра (Q)
оо
(2.2)
-00
271
Тогда, как можно доказать, выполняется неравенство
<T><Q>>l/2, (2.3)
причем знак равенства достигается в том случае, когда сигнал и его частотная характеристика одновременно имеют форму гауссовой кривой.
Такая формулировка принципа неопределенности, однако, не является исчерпывающей. Во-первых, можно ввести отличные от (Т) и (Q) меры сосредоточенности сигнала и юпектра. Во-вторых, на сигнал и спектр могут быть наложены априорные ограничения, которые приводят iK увеличению постоянной в неравенстве (2.3). Например, бывают сигналы, имеющие заведомо конечную длительность, или приборы, плохо пропускающие слишком высокие и слишком низкие частоты и т. д.
Здесь мы приведем примеры полезный, на практике формулировок принципа неопределенности, где используются сфероидальные функции и связанные с ними величины. Пусть, например, сигнал имеет (конечную длительность, т. е.
/(0 =
f(t), |//< Т/2,
{ 0 , \t\>T/2,
(2.4)
так что
7 \f(t)\'dt = J \fb)fdt. (2.5)
— Т/2 — оо
Для простоты выбран симметричный промежуток времени, В качестве меры сосредоточенности частотной характеристики сигнала возьмем не среднеквадратичную ширину опектра (Q), а величину р, которая при каждом фиксированном частотном интервале Q определена следующим образом:
й
J |F(w)|2dco j |F((o)|2dco
Одна из возможный формулировок принципа неопределенности состоит в том, что для всех сигналов f(t)
272
выполняется неравенство
Р<Мс)/У2яГ (2.7)
пде c—QT/2, а ро(с) —наибольшее по модулю собственное значение интегрального уравнения (2.21) гл. I, связанного с преобразованием Фурье в конечных пределах.
Доказательство принципа неопределенности в такой форме состоит в исследовании экстремальных свойств функционала (2.6) для р2. Перейдем в (2.6) обратным преобразованием Фурье от функции F(a) к функции f(t). Тогда выражение для р2 преобразуется к виду
Q Т/2 Т/2 _
f da f c~iatf(i)dt J eiaxf(x)dx
—п —T/2_— T/2_ _
Т/2 ~
2n f \f(t)Pdt
— T/2
712 V2 sinQ(/-T), j—
— T/2 —T/2
P
T/2
Л f \f(t)\*dt — T/2
Введем безразмерные переменные x=t(2Q)U2T-U2, ,t'=T(2Q)1/2r_1/2 и безразмерный параметр с=ОТ\2. В новых переменных окончательно имеем
V~o Ус . г-
С с sin У с (л: — х) -
J J х-х'-4(x)f(x')dxdx'
Р = =^с-=^-Гс-. (2.8)
п j \f(x)r-dx
-Ус
Числитель получившегося выражения можно интерпретировать как квадратичную форму (Bf, f), .порожденную интегральным оператором В (ср. (2.27) гл. I)
Ус
(Bf)(x) = j sAnYxc±xx7x')f(x')dx'. (2.9)
с
Известно, что максимальное значение квадратичной формы (Bf, f) на единичной сфере ||fl| = l равно максимальному собственному значению оператора В.
18 и. в. Комаров и др. 273
Используя обозначения, принятые в § 2 гл. I, получим
Ртах ^= 1^0 (с)1У2п, (2.10)
что и доказывает неравенство (2.7). Максимальное значение достигается, если в качестве сигнала f(t) на промежутке (—Т/2, Т/2) взять сфероидальную функцию
«o = {S"(t'T>' <-»
|/| > Т/2.
(Случай сигнала с финитным спектром исследуется аналогично.
Можно сформулировать в тех же терминах и более общий принцип неопределенности. Пусть при фиксированном выборе временного интервала { — Т/2, Т/2) мерой сосредоточенности сигнала f(t) на этом интервале служит величина а
а"
Г/2
j \f(t)\2dt
— Г/2_
J \f{t)\ldt
0< а<1.
(2.12)
Соответственно для каждого частотного интервала (—Q, Q) мерой сосредоточенности на нем спектра F(w) служит величина р"
\F(®)\*d®
2 _ —>'
Р2 =
j |F(w)|2do)
0<В<1.
(2.13)
Тогда для всех сигналов выполняется неравенство
arccos a+arccos [J^arccos (ца(с)/у2п), (2.14)
где снова [io(c) —максимальное собственное значение интегрального уравнения (2.27) гл. I. Сигнал f(t), на котором реализуется знак равенства (при а2+^2>1), выражается через сфероидальные функции
a/2ll.S00(C,2^/7), \t\<T/2,
1/2 _ (2.15)
/(0 =
2я(1
2я ¦
Sm(c,2t/T), \t\>T/2.
274
Доказательство принципа неопределенности в такой форме приведено в книге Хуршна и Яковлева (1971). На рис. 36 показана допустимая область изменения а и р при фиксированном значении с=1.
2. Восстановление структуры объекта по изображению. В оптике и других разделах физики процесс измерения или наблюдения состоит в том, что сигнал g от объекта поступает в измерительный прибор, который регистрирует изображение f. С точки зрения математики этот процесс можно отождествить с действием некоторого оператора Я из пространства объектов в пространство изображений. Обычно считают, что оператор Н — линейный интегральный оператор с симметричным разностным ядром, так что процесс измерения можно описать с помощью уравнения
оо
/(*)= j h(x-x')g(x')dx'.
-ОО
(2.16)
Функция h(x—х') называется аппаратной функцией прибора. Очевидно, что аппаратная функция есть изображение точечного источника типа дельта-функции. В том случае, если сигнал от объекта конечен, т. е. g(x)=0 при | х | >а, интегральное уравнение (2.16) принимает вид
