Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Комаров И.В. -> "Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции" -> 64

Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.

Комаров И.В. , Пономарев Л.И., Славянов С.Ю Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции — М.: «Наука», 1976. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): komarov_sferoidal_fnktsii1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 88 >> Следующая

Crawford (1967) проинтегрировал численно угловое уравнение (7.44) при Я =—1/4 с помощью разложения по функциям Лежандра (2.13) и нашел все значения *V<100.
В табл. 20 сравниваются значения bqm, полученные по формуле (7.64), с результатами расчета Кроуфорда. В каждой клетке табл. 20 на верхней строке приведен результат Кроуфорда, на нижней — значение bqm, вычисленное по формуле (7.64). Как и следовало ожидать, лучше совпадают bqm с большими q, однако и для <7=0 расхождение не слишком велико.
250
Уровни энергии в окрестности точек Rqm описываются приближенной формулой
?,„(- Z, Z,K>~- |exp [- j^attJJJ, + 2(d(0, т) ,
(7.65)
которая получается при подстановке в (7.62) равенств (7.39), (7.61) с учетом (7.4), (7.64).
В формуле (7.65) отброшенные члены имеют вид кратных экспонент. В показателе экспоненты не учтены
Таблица 20
Значения удвоенного критического днпольного момента bgm<100
\ т я \ 0 1 2 3 4 5
0 1,278630 1,35 7,583946 7,61 19,05805 19,49 35,724466 36,99 57,58641 60,10 84,64391 88,89
1 15,09391 15,11 28,22423 28,24 46,79707 47,09 70,67038 71,37 99,79020 101,39
2 42,60181 42,61 62,60340 62,62 88,13252 88,30
3 83,85461 83,88
члены порядка 0([Z(R—Rqm)]U2), а коэффициент при (R—Rqm)'1' вычислен с точностью до О([2<74-tf*4-1] )• Соотношение (7.39) с хорошей точностью описывает спектр радиальной задачи в окрестности критической точки р=0, о=0. Однако величина р(о), согласно формуле (7.39), экспоненциально зависит от о. Поэтому даже небольшая погрешность при вычислении о из спектрального равенства (7.61) для угловой задачи приводит к большой ошибке при вычислении энергии. Подчеркнем еще раз, что в спектральной области, определяемой условиями (7.3), у. к. с. ф. не сводятся ни к каким более простым известным функциям.
При R>R00 в любом сколь угодно малом энергетическом интервале вблизи ?=0, имеется бесконечное
251
число уровней. Термы, у которых q и т одинаковы, а k — любые, выходят в сплошной спектр при одном и том же R = Rgrn. Формула (7.65) показывает, что в этой точке они касаются прямой ?=0 таким образом, что
все производные—- Ekm(R) (s=0, 1,...) при R = dR
=Rgm-\-0 равны нулю. Внутри группы с одинаковыми q и т термы с большим радиальным числом k подходят к критической точке более полого.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Численно термы конечного диполя вычисляли Wallis, Herman, Milnes (1960). Наиболее близко к границе сплошного спектра подходит вариационный расчет Turner, Anderson, Fox (1968). Fermi, Teller (1947) впервые указали, что связанные состояния в поле диполя существуют, только если дипольный момент превосходит критическое значение 6оо/2=0,639 ат. ед. В дальнейшем ряд авторов независимо обсуждали этот вопрос; его история изложена Turner и др. (1968). Наиболее подробные результаты получил Crawford (1967), вычисливший значения критического удвоенного дипольного момента 6gm<100.
Поведение основного энергетического терма ъ зависимости от R вблизи критической точки рассматривал Wightman (1950). Он обратил внимание на то, что терм приближается к границе сплошного спектра очень полого. Вследствие этого критическая величина дипольного момента не имеет физически строго определенного значения, так как даже очень слабое возмущение приводит к значительному ее изменению.
Изложение в данном параграфе следует работе Абрамова и Комарова (1972).
§ 8. Связь задачи ZxeZ2 с одноцентровой кулоновской задачей
1. Оператор константы разделения. Хорошо известно, что задача двух кулоновских центров допускает разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах как в классической, так и в квантовой механике. Возможность разделения переменных в задаче ZxeZ2 связана с высокой внутренней симметрией кулоновского поля (Coulson, Joseph, 1967). Покажем это, построив с помощью интегралов движения одноцентровой кулоновской задачи оператор, собственными значениями которого являются значения константы разделения в задаче ZxeZ2,
252
Гамильтониан одноцентровой кулоновокой задачи имеет вид
Н=Т-У' r*=Zxl (8.1)
Согласно идее Фока (1935) движение частицы в ку-лоновокам поле при отрицательной энергии эквивалентно свободному движению на поверхности 4-сферы. Шесть компонент углового 4нмомента являются интегралами движения. Если выразить последние через Знкоординаты и 3-импульсы, то оказывается, что три компоненты 4-мо-мента являются компонентами углового 3-момента
&«=х,Рг-х,Р„ t=l, 2, 3, (8.2)
а три оставшиеся компоненты 4-момента образуют известный вектор Рунге — Ленца
А< = ~ т0 {т 2 (2?"р/" р&») - Zjr\ (8-3)
где
/>о=(-2?)1/2. (8.4)
С гамильтонианом (8.1) одновременно коммутируют квадрат полного момента
L2 = 2 <??/, (8-5)
t<j=\
его третья компонента 1*ъ-=&\2 и третья компонента вектора Рунге — Ленца А3. Следовательно, для произвольного числа R^O справедливо равенство
[A, L2±RPoA3] =0, (8.6)
где квадратные скобки означают коммутатор.
Поместим заряд Zu создающий кулоновское поле, в точку с координатами (О, О, —R/2) и рассмотрим преобразование соотношения (8.6) при заменах
Z->Zlt xt -» х\ = х( + 4 Rbt3,
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed