Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Комаров И.В. -> "Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции" -> 68

Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.

Комаров И.В. , Пономарев Л.И., Славянов С.Ю Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции — М.: «Наука», 1976. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): komarov_sferoidal_fnktsii1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 88 >> Следующая

Задачи дифракции электромагнитных волн на сфероидах и дисках значительно труднее акустических. Разделение переменных в уравнениях Максвелла удается выполнить, либо когда поле не зависит от угла ф, как это было показано в § 3 введения, либо когда рассматривается частный случай сфероида — диск.
В задаче дифракции наклонно падающей плоской волны на диске, которую решали Meixner (1948), Meixner, Andrejewski (1950), Flammer (1953), Белкина (19576), переменные разделяются, поскольку при отражении от диска плоская волна не меняет поляризации и поле по существу носит скалярный характер. Однако и в этих
265
благоприятных случаях не всегда удается разделить переменные в граничном условии, что приводит к бесконечным системам алгебраических уравнений для коэффициентов разложения поля по сфероидальным функциям.
В этом параграфе в качестве примера рассматривается классическая задача, допускающая полное разделение переменных в сфероидальных координатах: дифракция электромагнитной волны, порождаемой электрическим вертикальным диполем, расположенным на оси идеально проводящего сфероида. Эту задачу рассматривали Meixner (1953), Hatcher, Leitner (1954), Белкина (1957) и др. Рассеяние на диске электромагнитной волны, создаваемой горизонтальным магнитным диполем, исследовали Leitner, Spence (1950), Белкина (1957в) и др. Сфероидальные функции использовались и при расчете рассеяния плоской электромагнитной волны на вытянутом сфероиде .(Siegel и др. 1956), причем направление волны совпадало с осью сфероида. В этой задаче нет полного разделения переменных, однако получившиеся при этом бесконечные линейные алгебраические системы решались достаточно эффективно численными методами. Большой фактический материал по электромагнитной дифракции на дисках и сфероидах содержится в книгах Иванова (1968) и Bowman, Senior, Uslenghi (1969). Иванов рассматривал дифракцию не только на одном сфероиде, но и на двух сфероидах (Иванов, 1968), двух дисках (Иванов, 1964, 1965). При этом для коэффициентов разложения по сфероидальным функциям получаются бесконечные алгебраические системы уравнений.
Большое число работ (Chu, Stratton, 1941а, b, Page, 1944, Марков, Дупленков и Осипович, 1965) посвящено изучению вынужденного электромагнитного излучения от сфероидальной антенны. Этот круг вопросов подробно разбирается в книге Schelkunoff (1952) и статье Wait (1966). Из проблем, привлекших внимание за последние годы, особо отметим распространение электромагнитных волн в средах с комплексной диэлектрической постоянной и сфероидальными границами раздела (Wait, 1966, Lytle, Schultz, 1969, Макаров и Терещенко, 1972). Часть трудностей здесь связана с недостаточной информацией о поведении сфероидальных функций при комплексных значениях параметра.
Резонансные свойства сфероидальных полостей, т.е. собственные колебания и собственные частоты, исследовались Nimura (1951), в высокочастотном приближении — Вайнштейном (1965а, б) Славя-новым (1974). В этом параграфе получена асимптотика собственных частот колебаний типа «прыгающего мячика» внутри сплюснутого эллипсоида.
Квантовомеханические применения сфероидальных функций обсуждаются в §§ 3, 4. Здесь укажем только на задачу о сфероидальной потенциальной яме (Rainwater, 1950; Granger и Spence, 1951). В работе Gupta (1968) сфероидальные функции применяются к проблеме распространения нейтронов.
2. Поле вертикального электрического диполя, расположенного на оси вытянутого сфероида. Рассмотрим задачу о симметричном возбуждении идеального проводящего вытянутого сфероида, заданного уравнением ?=|?о, элементарным электрическим диполем, располо-
266
жбнньим на оси сфероида в точке ?=.?ь ц=\ и имеющим момент D, .направленный вдоль оси сфероида. Как следует из § 3 введения электромагнитное поле в такой задаче полностью определяется магнитной компонентой Нщ которая разлагается в ряд по сфероидальным функциям с .азимутальным индексам m=il.
¦Полное поле Н9 складывается из первичного поля диполя
Нт = —
k2D 4я
г'\
1 - -7
1
ik \r — г'\
sin О, (1.1)
где г—радиус-вектор точки наблюдения, г' — радиус-вектор источника, Ь — угол между г' и г, и дифрагированного поляЯф . На поверхности сфероида должно выполняться условие
icV i2 — Ц2 д"
= 0 (1.2)
и, кроме того, дифрагированное поле должно удовлетворять условию излучения.
Первичное поле диполя Н% разложим в ряд по сфероидальным функциям
Н% = Jj А?и(с, л) Ru(c, l<) R?Uc, 1>),
6< = min(g, Ы, 5>~-тах(6, (1-3)
Коэффициенты Ах могут быть найдены следующим образом. Устремим точку наблюдения на бесконечность т. е. г—>оо, \—><х>. Из равенства
\r-r'\ = r-±\1 C0Sr> + 0(7
и асимптотической формулы (1.22) лл. I следует
k2D 4я
ikr
е—ie^cosi? sjn,
1 +
, ikr
= S A,SU (c, cos Щ Ru (с, У \- (- i)'+1
1+0
(1.4)
Если до множить равенство (1.4) на Su(c, cos ft) sin ft и
267
проинтегрировать по Ф от 0 до л, то с учетом интегрального тождества (2.10) гл. I получаются следующие выражения для коэффициентов:
kWil+l
Ai =--р=-, (1.5)
4л]Л?-1хи(с)
где коэффициенты хц(с) определены в гл. I формулой (2.1,1).
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed