Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
в) Наконец, решение возникло потому, что применили разложение многочлена на множители. Это явилось главным средством доказательства. Сделаем вывод: если попадается задача на доказательство делимости какого-либо натурального числа, заданного формулой, разложение на множители может привести к цели.
3) Зачем нужна была числовая проверка? Разве можно было доказать это утверждение на числовом примере? Нет, частный пример ничего не доказывает в математике, но он может убедить нас втом, что задача поставлена правильно (а вдруг ошибка в условии?),
13
и помочь понять то, что от нас требуется сделать. Итак, доверять частному примеру нельзя, а использовать его при решении полезно.
4) Посмотрим, о чем полезном расскажет нам второй способ решения задачи.
а) Прежде всего полезно знать, что число, кратное трем, можно записать в виде 3k, где k ? N. Полезнее даже не это, а следующее: число, кратное четырем, можно записать в виде 4k; кратное 5 — в виде 5k и т. д.
б) Зачем мы использовали запись числа в виде 3k? Для того, чтобы использовать подстановку заданного условия в рассматриваемое выражение.
в) Наконец, заметим, что формулу (а + Ь)3 (в первом случае а3 — Ь3) нам нужно было знать хорошо (не напрасно учитель добивался все время от нас запоминания тождеств сокращенного умножения— спасибо ему!).
г) И еще полезное свойство произведения стоит запомнить — если один из сомножителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
5) Из оставшихся способов рассмотрим еще один — четвертый. Что полезного можно извлечь из этого решения?
а) Прежде всего полезно знать то, что если разность двух чисел делится на некоторое данное число, то каждое из этих чисел при делении на данное число дает один и тот же остаток.
6) Все натуральные числа мы можем разбить на отдельные виды в зависимости от их делимости на некоторое число. Здесь числа разбиты на три множества; если бы рассматривалась делимость на 4, то могли бы разбить их на 4 множества (на числа вида 4т, 4т + + 1, 4т + 2, 4т + 3). А сколько получили бы множеств, если рассматривали деление на 13?
в) Зачем мы разбивали множество натуральных чисел на части? Это делалось потому, что а и b могли быть такими, что делились бы на три или не делились. Если бы они делились на 3, все было бы просто; уменьшаемое и вычитаемое а3 — Ъ3 делятся на 9, значит, и разность делится на 9. А в «неудобных» случаях была проведена проверка (в общем виде!) подстановкой в а3 — Ь3 данного вида чисел с вынесением 9 за скобки (применили свойство делимости произведения).
г) Итак, при решении задачи этим способом мы воспользовались таким приемом: разбили все возможные значения на «удобные» и «неудобные» и проверили, верно ли утверждение для каждого случая отдельно. Причем таких случаев оказалось немного (три); если бы в условии была дана делимость на 13, этот способ решения вряд ли оказался бы удобен. Запомним это!
Попробуйте определить, что полезно запомнить из оставшихся способов решения данной задачи.
Снова подведем итоги. Как мы оцениваем учебный характер этой задачи?
14
1) Мы рассмотрели еще раз саму задачу и установили, что полезно запомнить тип задачи: такие задачи могут нам встретиться не раз.
2) Мы установили, какой прием (способ) был главным инструментом решения (и запомнили этот прием): разложение на множители, разбиение множества чисел на части.
3) Мы установили, какие основные свойства чисел использовались нами при решении.
4) Мы обратили внимание на роль и место частных примеров, иллюстрирующих некоторое утверждение.
5) Мы усмотрели возможность самим составлять ряд аналогичных задач, например:
1. Доказать, что (а2 — b2) \ 4, если (а — b) \ -2 (более простая!).
2. Доказать, что (а4 — ?>4) \ 16, если (а — b) \ 4.
Ну что ж, мы думаем, вы можете сказать, что изучили решения этих двух задач не напрасно. Заметим, что вы не решали задачи сами, а потому не извлекли из них максимум пользы. (Например, не установили, что не знали и не умели, какие испытывали трудности в поиске решения.)
Закончим первым советом решающему задачу: решив задачу, оглянись назад и изучи задачу и найденное решение в целом, установи, что полезно запомнить, а что можно забыть.(Нужно не только пользоваться своей памятью, но и беречь ее!)
Задания для самостоятельной работы
2.1. Изучите условие и решение следующей задачи. Выявите, чему можно научиться на этой задаче. Что нового вы узнали, прочитав эту задачу и проработав ее решение? Ответьте на вопросы: о чем можно (и нужно) забыть в связи с этой задачей? Что могло бы пригодиться вам из опыта решения задач данного параграфа, если бы вы решали эту задачу сами?
Задача. Доказать, что всякое нечетное число, неравное единице, есть разность квадратов двух каких-то чисел.
Решение. 1) Нам нужно доказать, что а = х2 — у2, если а Ф 1 и а — нечетное число.
Проиллюстрируем примером эту интересную закономерность 3 = 22 — I2; 5 = З2 — 22; 7 = 42 — З2; ...(основания квадратов установили обычным подбором).
