Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
= (а — Ь) (а2 + Ъ2 — 2аЬ + + 3ab) = (a — b) ((а — Ь)2 + За*).
Так как (а — Ь) делится на 3, то и (а — Ь)2 • 3, (а — Ь)2 + Заб гоже делится на 3. Значит, а3 — Ь3 делится на 9.
II способ. Пусть а — Ь = 3k, причем k ? N.
Тогда а = 3k + Ь, и поэтому а3 — Ь3 = (3k + Ь)3 — Ь3 =: = 2763 + 27k2b + 9kb2 + b3 — b3 = 9k (3k2 + 3kb + b2). Следовательно, a3 — b3 делится на 9.
III способ. Представим разность кубов так:
а3 — Ьч = (а — Ь)3 + ЗаЬ (а — Ъ).
* Знак | означает деление без остатка. Например, запись «12 | 4» читается так: «12 делится на 4».
12
Очевидно, что (а — Ь)3 делится на 9; ЗаЬ (а — Ь) тоже делится на 9. Следовательно, и заданное число делится на 9.
IV способ. Так как (а — b) \ 3, то каждое из чисел а и b при делении на 3 дает один и тот же остаток г:
а = Зс + г, b = 3d + г.
Причем г может быть равно 0, 1 или 2. Если г = О, то а3 — Ь3 =э = (Зс)3 — (3d)3 делится на 9. Это очевидно.
Если г=\, то а3 — Ъ3 = (Зс + I)3 — (3d + I)3 =* = 27с3 + 27с2 + 9с + 1 — 27d3 — 27d2 — 9d — 1 = = 9 (Зс3 + Зс2 + с — 3d3 — 3d2 — d).
Следовательно, а3 — Ь3 делится на 9.
Если г = 2, то а3 — Ъ3 = (Зс + 2)3 — (3d + 2)3= = 27с3 + 54с2 + 36с + 8 — 27d3 — 54d2 — 36d — 8 = = 9 (Зс3 + 6с2 + 4с — 3d3 — 6d2 — 4d).
Значит, а3 — Ь3 делится на 9.
V способ. Пусть а — Ь = 3k, где k ? N. Тогда (а — Ь)3 =» = 27k3, а3 — й3 = 27k3 + ЗаЬ (а — Ь), а3 — Ъ3 = 27k3 + 9abk.
Следовательно, а3 — Ь3 делится на 9.
Пусть мы решили эту задачу, и даже пятью способами (правда, здесь ничего не сказано о том, как найдены эти решения, но для нас важно сейчас другое). Чему мы научились, решая эту задачу? Как это установить?
1) Прежде всего отметим, что существуют такие виды чисел, которые делятся на некоторое число при определенных условиях. Наверное, таких видов чисел много. Например, а2 — Ь2, по-видимому, будет делиться на 4, если (а — Ь) • 2 и т. д. (Интересный факт!) Значит, таких задач может быть много и встретиться они могут не раз.
2) Посмотрим на первый способ решения. На чем он основан?
а) Он основан на свойстве делимости суммы (если каждое из слагаемых делится на данное число, то и сумма делится на это число) — полезное свойство. (Запомнить!)
б) Он основан на свойстве делимости произведения (если каждый из двух множителей делится на данное число, то произведение делится на квадрат данного числа) — полезный факт. Запомнить его? Нет, лучше запомнить другое: если один из множителей делится на а, другой — на Ь, третий — на с и т. д., то произведение делится на а • Ь ¦ с... . Это свойство полезнее.
в) Наконец, решение возникло потому, что применили разложение многочлена на множители. Это явилось главным средством доказательства. Сделаем вывод: если попадается задача на доказательство делимости какого-либо натурального числа, заданного формулой, разложение на множители может привести к цели.
3) Зачем нужна была числовая проверка? Разве можно было доказать это утверждение на числовом примере? Нет, частный пример ничего не доказывает в математике, но он может убедить нас в том, что задача поставлена правильно (а вдруг ошибка в условии?),
13
Очевидно, что (а — Ь)3 делится на 9; ЗаЬ (а — Ь) тоже делится на 9. Следовательно, и заданное число делится на 9.
IV способ. Так как (а — b) \ 3, то каждое из чисел а и Ь при делении на 3 дает один и тот же остаток г:
а = Зс + г, Ь = 3d + г.
Причем г может быть равно 0, 1 или 2. Если г = О, то а3 — Ь3 =э = (Зс)3 — (3d)3 делится на 9. Это очевидно.
Если г=1, то а3 — Ь3 = (Зс + I)3 — (3d + I)3 = = 27с3 + 27с2 + 9с + 1 — 27d3 — 27d2 — 9d — 1 = = 9 (Зс3 + Зс2 + с — 3d3 — 3d2 — d).
Следовательно, а3 — ft3 делится на 9.
Если г = 2, то а3 — Ь3 = (Зс + 2)3 — (3d + 2)3= = 27с3 + 54с2 + 36с + 8 — 27d3 — 54d2 — 36d — 8 = = 9 (Зс3 + 6с2 + 4с — 3d3 — 6d2 — 4d).
Значит, а3 — Ь3 делится на 9.
V способ. Пусть а — Ь = 3k, где k ? N. Тогда (а — Ь)3 =« = 27fe3, а3 — Ь3 = 27fe3 + ЗаЬ (а — Ь), а3 — Ъ3 = 27k3 + 9abk.
Следовательно, а3 — Ь3 делится на 9.
Пусть мы решили эту задачу, и даже пятью способами (правда, здесь ничего не сказано о том, как найдены эти решения, но для нас важно сейчас другое). Чему мы научились, решая эту задачу? Как это установить?
1) Прежде всего отметим, что существуют такие виды чисел, которые делятся на некоторое число при определенных условиях. Наверное, таких видов чисел много. Например, а? — Ь2, по-видимому, будет делиться на 4, если (а — b) \ 2 и т. д. (Интересный факт!) Значит, таких задач может быть много и встретиться они могут не раз.
2) Посмотрим на первый способ решения. На чем он основан?
а) Он основан на свойстве делимости суммы (если каждое из слагаемых делится на данное число, то и сумма делится на это число) — полезное свойство. (Запомнить!)
б) Он основан на свойстве делимости произведения (если каждый из двух множителей делится на данное число, то произведение делится на квадрат данного числа) — полезный факт. Запомнить его? Нет, лучше запомнить другое: если один из множителей делится на а, другой — на Ь, третий — на с и т. д., то произведение делится на а ¦ Ь ¦ с... . Это свойство полезнее.
