Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
Имеем сумму квадратов двух переменных х2 и а2, прибавим к ней 2ах. Чтобы не изменилась сумма, вычтем это же выражение: х2 — 2ах + а2 + 2ах — хр = 0, или (х — а)2 + х (2а — р) = 0. Выделили из суммы полный квадрат разности выражений х и а.
Последнее равенство возможно только при 2а — р ^ 0 (так как (х — а)2 > 0, х > 0), т. е. р > 2а.
Очевидно, наименьшее значение р равно 2а.
III способ. Рассмотрим квадрат со стороной а, тогда площадь его а2, полупериметр равен 2а. Если одну из сторон уменьшить на т (а > т ^ 0), то, чтобы площадь прямоугольника осталась прежней, нужно вторую сторону увеличить на п (п ^ 0).
По условию задачи площадь прямоугольника равна а2, т. е. (а — т) (а + п) = а2.
Произведя вычисления, получим: а (п — т) = тп; так как т > 0, п > 0, то тп > 0, а > 0.
Следовательно, п — т > 0.
Тогда полупериметр прямоугольника будет равен: р — = а — т + а + п = 2а + (п — т); так как п — т > 0, то р > 2а.
Наименьшее значение р равно 2а.
IV способ. Введем следующие обозначения:
(ху = а2) => (х + у = р — наименьшее), р?
х + У = Р, x — y = q,
где q — некоторое число, р Решая систему, получим:
полупериметр.
х -=
Р + ? 2 1
У =
2.
10
Найдем "площадь ^Цр • = а2; отсюда р" = 4а2 + q2,
и р будет наименьшим, когда <7 = 0, т. е. х = у. Следовательно, р = 2а.
Пусть мы решили задачу, и даже четырьмя способами..
Чему мы научились, решая эту задачу? Как это установить?
1) Прежде всего отметим, что, решая эту задачу, мы доказали теорему: «Сумма двух положительных переменных, произведение которых есть величина постоянная, принимает наименьшее значение, когда значения переменных равны».
Интересный факт! Значит, задач, связанных с этой теоремой, может быть много и встретиться они могут не раз. Запомним это.
2) Посмотрим на способы решения. На чем они основаны?
а) Решая задачу первым способом, мы воспользовались тождеством (х + у)2 = (х — у)'2 + 4ху. Это и явилось главным средством доказательства.
б) Второй способ основан на выражении одной переменной через другую, выделении полного квадрата (прибавили и вычли одно и то же выражение), нахождении знака одного из двух слагаемых, сумма которых равна 0.
в) Посмотрим, о чем полезном расскажет нам третий способ. Мы воспользовались тем, что стороны прямоугольника, площадь которого есть величина постоянная, находятся в обратно пропорциональной зависимости друг с другом, а также свойством неравенств: если а > Ь, то а = Ь + т., т. > 0.
Предлагаем самим извлечь все то, что полезно запомнить из четвертого способа решения задачи.
Подведем итоги. Как мы оцениваем учебный характер этой задачи?
1) Мы рассмотрим еще раз задачу и установим, что полезно запомнить тип задачи: такие задачи могут нам встретиться не раз.
2) Мы установили, какой прием (способ) был главным инструментом решения (и запомнили этот прием: выделение полного квадрата, использование свойства обратно пропорциональных переменных и т. п.).
3) Мы отметили, что тождества сокращенного умножения нужно хорошо знать, чтобы применять их к решению задач.
4) Мы установили некоторую зависимость между суммой и произведением двух переменных (когда произведение есть величина постоянная).
Естественно, возник вопрос: при каких условиях произведение двух положительных переменных, сумма которых есть величина постоянная, принимает наибольшее значение, т. е. если х + у = с, где с — постоянная, то когда х ¦ у достигает наибольшего значения? Попробуйте ответить на этот вопрос.
5) Видим, что теперь мы можем сами составлять аналогичны? задачи, например:
И
1. Множество значений переменной х есть
{-21; -20; -19; ...; 17; 18},
множество значений переменной у есть
(-3; -4; ...; -13; -14}.
Сколько различных значений может принимать переменная х + у? Чему равна сумма наибольшего и наименьшего его значений?
2. Установить, в каком случае площадь прямоугольника со сторонами х и у будет наибольшей.
3.. Построить график зависимости площади прямоугольника от длины одной из его сторон. Найти графическим способом стороны прямоугольника, если его периметр равен 12, а площадь наибольшая.
Рассмотрим еще одну задачу:
«Доказать, что (а3 — Ь3) делится на 9, есЛи (а — Ь) делится на 3, где а и Ь — натуральные числа».
Неужели на решении такой «сухой» задачи можно чему-то полезному научиться? Прежде чем рассматривать решение, прочитаем условие задачи еще раз. Неинтересно? Нет, пожалуй, интересно, если вдуматься! t
Неужели, если взять а = 198, Ь = 48 (а — b — 198 — 48 = = 150 \ 3)*, то (1983 — 483) : 9? Не верится что-то. Не так ли? Может, потрудимся?!
1983 _ 483 = (198 — 48) (1982 + 198 • 48 + 482).
Не хочется считать? Можно взять а и Ь поменьше.
а = 7, Ь = 1: а — Ь = 6 : 3, 73 — I3 = 342 : 9; а = 5, Ъ = 2: а — Ъ = 3 | 3, 53 — 23 = 117'; 9.
Не стоит проверять больше. Ведь мы докажем это утверждение для любых а и Ь, таких, что (а — b) \ 3.
I способ. Разложим многочлен а3 — Ьг на множители:
а3 — = (а — Ь) (а2 + аЬ + Ь2) =
