Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
Как самому составлять задачи ?
Как и чему учиться на задаче?
Как начинать решение?
Как догадываться при решении? Как рассуждать при решении?
Как осуществлять самоконтроль в ходе решения задачи?
Можно ли работать над задачей так,как раЬотает ученый-математик ?
Полезно ли решать не эту задачу, а другую?
Рис. 1
7
пугался, еще не поздно отступиться. «А без труда — не вынешь и рыбку из пруда!»
Ну как? Не испугались?
Тогда продолжим путь в Страну задач! Начнем с самостоятельной работы.
Задания для самостоятельной работы
1.1. Приведите пример задачи (запишите ее условие), которая является для вас в настоящее время стандартной, нестандартной (по одной задаче каждого вида). Запишите условия этих задач на отдельном листке и сдайте листок учителю.
1.2. Решите приведенные в тексте квадратные уравнения, не используя формулу. Как проверить, правильно ли ваше решение?
1.3. Решите задачу о медианах равнобедренного треугольника.
1.4. Попробуйте свои силы на решении задачи о взвешивании монет. Если вам удастся решить эту задачу, не рассказывайте пока о ее решении товарищу (или подруге), расскажите о решении только учителю.
1.5. Попробуйте дополнить схему вопросов, связанных с решением задач, своими вопросами. Обсудите эти вопросы в классе.
1.6. Приготовьтесь ответить учителю на следующие вопросы:
1) Какие задачи кажутся вам наиболее трудными (арифметические, алгебраические, геометрические или какие-либо другие)?
2) Какие задачи кажутся вам наиболее интересными?
3) Прочитайте еще раз схему вопросов, связанных с решением задач. Какие из этих вопросов кажутся вам самыми важными? Самыми интересными?
1.7. Приведите пример какой-нибудь известной вам интересной задачи или интересного решения какой-либо задачи. Сумейте ответить на вопрос: «Почему эту задачу (или ее решение) вы считаете интересной?»
1.8. Расскажите, что изображено на рисунке 2. Обсудите ваши ответы в классе. Установите, у кого из вас самое интересное решение этой необычной задачи.
§ 2. УЧИСЬ НА ЗАДАЧЕ
Что значит учиться на задаче? И нужно ли это?
Многие считают, что задача дается для того, чтобы ее решить: найти правильный ответ на вопрос задачи (или установить, что эта задача не имеет решения). Это верно лишь отчасти. Ученый, инженер, экономист, художник и т. д., перед которым поставлена кон-
лл/ww/
Рис. 2
3
кретная задача, конечно, должен ее решать — это его главная цель. Вторичной целью может быть отыскание наиболее общего, красивого, экономичного решения. Если эта задача решена, то в результате ее решения создана какая-то материальная или духовная ценность. Какие же материальные или духовные ценности создаете вы, школьники, при успешном решении задачи?
Для школьника решить данную задачу — не главная цель (как у производственника); главное — научиться чему-то, связанному с изучением математики, узнать и усвоить новые математические факты, овладеть новыми математическими методами, накопить определенный опыт, научиться мыслить. Итак, главная наша цель — учебная, и потому каждая задача должна вас обучать чему-либо полезному, новому знанию или умению.
Обнаружить это полезное и новое для вас не так просто. Ведь вы даже не задумываетесь над этим, считая, наверное, что накопление полезных и новых фактов произойдет само собой. Чем же иначе можно объяснить тот факт, что иногда, заглянув в ответ (или получив одобрение учителя), вы считаете свою работу над задачей законченной? Вы даже не отдаете себе отчета в том, как получено ваше решение, что вам нужно было знать, чтобы найти это решение (или что вы не знали, если решение сообщит вам товарищ или учитель).
Согласитесь, что чаще всего вы решаете задачи так, как указано на схеме (рис. 3), или, в лучшем случае, так, как показано на следующей схеме (рис. 4). Не потому ли вы часто не можете решить задачу, даже очень похожую на ту, которую когда-то решали?
Итак, вы не учитесь на задаче, и в этом одна из причин того, что вы не умеете решать задачи.
— Ну, хорошо, — скажете вы, — мы поняли, что мы не делаем и что нужно делать. Но нам до сих пор не ясно: как это делать? Чему учиться на задаче и как? Научите нас!
Ну что ж, попробуем.
Рассмотрим решение какой-либо задачи и посмотрим, чему оно может нас научить.
«Площадь прямоугольника равна а2. Найти наименьшее значение периметра этого прямоугольника».
Задача
Задача - Не вышло!
Найти
Найти
Ответ верен! Конец!
Рис. 3
Рис. 4
9
I способ. Для решения задачи достаточно рассмотреть полупериметр данного прямоугольника. Обозначим длины сторон прямоугольника через х и у, полупериметр через р; запишем задачу символически:
Воспользуемся тождеством (х + у)2 — (х — у)2 = 4ху; так как ху = а2 и х + у = р, то р2 = (х — у)2 + 4а2.
Наименьшее значение р2 достигнет тогда, когда х — у = О, т. е. х = у. В этом случае р2 = 4а2, следовательно, р = 2а.
Вывод. Наименьшее значение полупериметра р равно 2а, когда х = у.
II способ. Пусть х — длина стороны прямоугольника. Тогда длина смежной стороны равна р — х, а площадь прямоугольника запишется так: х (р — х) = а2, т. е. хр — х% — а2 = 0, или х2 + а2 — хр = 0.
