Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
р2 = А. р3 = — Ах3-{-В, Pl = -A±y<<a-AB)x1-\-A^,.
которые дают: А
z = —2
з
*» ± 3(а-АВ) (<«~ *г + ^)2 +
+ Ах2-^-х1-\-Вх3-\-С.
"250 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [7.16
здесь
?v = «v
В этом уравнении можно разделить переменные. Если положить
x2q2=A, q3 + Ax3==B, то получается еще соотношение
fi + Aql + ABx1=*±^-. Из всех этих уравнений получаем:
и = — y х1—-щА^т^-+А1п\х2\ + Вх3 — ~х2+С, где
v2 = A2— (4АВ ± 1)хх. "7.18. с, (л-2р3 — Jf3P2)2+ с2 (лтдр, — Jc,P3)2+o3 (л*,Р2 — *2p,)2 = 1.
Из характеристических уравнений получают первые интегралы
2 х%, 2 *V*V 2 Pv-"7.19. г2р,рг+гр2рз+Рзр,= 1; тип ч. I. п. 13.2.
J У ABz2 + ?Cz + AC dz = Лл^ + Bx2 + Сх3 + D.
"7.20. (лу^ + + луз)2 =
Замена переменных
z(xx, х2, х3) = ?(р, ф, ф),
Jt;I = pSincpCOSlh, ЛГ2 = р5Ш<р5тф, ЛГ3 = рС05ф
приводит к уравнению
7.16. р,(р,+ P2) + x1p2(xzp2 + p3) = A-,z; тип ч. I, п. 13.4.
Подстановка z= ± w2 приводит к уравнению 7.15
Wxt К + «J + *l«r, (X3WX, + *>х) = ± Т" •
"7.17. р^ + ^РЛ + ^ЛРгРз + ^^зР^дг^; тип ч. I. п. 13.4.
Подстановка z= ± и2 приводит к уравнению
я]+*2ад+*i->Wa+xixlxtfl = ± х'
7.21| 15—21. ОСТАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КВАДРАТАМИ ПРОИЗВОДНЫХ 258
Это уравнение с разделяющимися переменными. Если положить-левую и правую части равными Л2, то получаются уравнения.
^-t^i-iA2—d>
м У\ — а2 р ' Ps+1
4 = (Л2 — 4)sinV (2>
В последнем уравнении переменные разделены. Если положить-левую и правую части равными Б2, то получаются еще два уравнения
U = B, (3>
Следовательно,
?=7г=^/1+5*+/2+с-
где
р2+1
= « In iiJ^. _/1^2 arctg ,-!?_» 2 а —а r У1 — а*
причем
о2 = а? 1
Ps+1 '
/2 = Л arcsin , — В arctg-
cos <р причем
я2 = Л2 sin2 <р — В2. 7.21. 2zeJf'(e-Jf'p1-r-e-,;2p2)2 = p3; тип ч. I, п. 13.4.
Замена w = z2, qv — wx приводит к уравнению с разделяющимися переменными
(е~хщх -f- e-^2)2 = e~x>q3.
Отсюда полный интеграл
z2 = Ае* + Вех' + (Л + В)2 ех* + С.
252 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [7.22
22—31. Уравнения с производными в более высоких степенях
"7.22. р1р2р3 = ххх2х3; уравнение с разделяющимися переменными. z = Ах2 -f- Вх\ + Сх\~\- D, где 8 ABC = 1.
"7.23. р,Р2Р3 = Я, 4- Х2Р2+-*зРз*
Из характеристических уравнений находим первые интегралы р2/рх, PzlPi- Если положить
Ар2 = Ври Ap3 = Cpv
то получаем три уравнения, образующие полную систему. Отсюда
находим:
и затем
з
2 (Ахх-{-Вх2-\-Сх3)2 D.
ЗУАБС
"7.24. pip2p3-\-x1p1-{-xip2-\-x3p3 = z; уравнение Клеро.
Полный интеграл
z^Axi-\-Bx2-\-Cx3-\-ABC.
Особый интеграл z2 = —4xtx2x3.
"7.26. РлР2Р3 = х1р2+х2р1+х3р1.
Из характеристических уравнений легко получаются первые интегралы. Если с их помощью образовать уравнения
±-± = А.----- = В,
Pi Рт. Pi Рз
то получаются три уравнения, составляющие инволюционную систему, а из них можно определить рх, р2, р3 и z. С помощью преобразования Лежандра xv = Pv, pv — Xv уравнение переходит в линейное дифференциальное уравнение 3.61
Х2\Р\ 4- Х22Р2 4- Х23Р3 = ХХХ2Х3. 1.Ж PlP.,P3 — (x2x3p2p3~{-x3xlp2pl-yxtx2p1p2)-\-
+ -Wi (xjpl 4- х2рг 4- ЛГдРз) = 0.
Из характеристических уравнений получают первые интегралы x{pi — х2р2, ххрх — хар3. Если при этом уравнения
*2P2=*tA + ^, х3ра= хм-^ В
присоединить к данному, то образуется инволюционная система. Исключение приводит к кубическому уравнению для рх.
7.31| 22-31. УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНЫМИ В БОЛЕЕ ВЫСОКИХ СТЕПЕНЯХ 253
7.27. (Cjp, — z) (а2р2 — z) (<у», — z) = р,р2р3.
Для t(xi> х2, x3) — \n\z\ из дифференциального уравнения получается уравнение типа ч. I, п. 13.1
№ - »)№- OWS* - i)=w*
с полным интегралом
? — ^1*1 -f- Л2лг2 + Л3лг3-|- Л0,
где
(а,Л1 — 1)(<V*2 — 1)(а3Л3 — 1) = ЛИ2^з-
7.28. zpyp2ps = ХуХ2х3; тип ч. 1,.п. 13.4.
Пусть z = uK. Тогда
следовательно, для А — получается уравнение с разделяющимися переменными
хх х2 х$ \ 3 / Отсюда полный интеграл 3 1
rj-z3 ^Ax\ + Bx\ + Cx\-\-D для Л?С=1.
7.29. azpy + bz2p\ -j- cz*p\ = 1.
Для w=z2 получают уравнение типа ч. I, п. 13.1 в . Ь о , с n , "2 *1 + Т^+Т^=1
(при этом qv = wx^. Поэтому полный интеграл данного урав-
"v.
нения имеет вид
z2 — Аху-{- Вх2-\- Сх3 -f- D,
где
|Л + АВ2+|.С3=1.
7.30. p2 + 2p] + 22P| = «3PiP2P3; это уравнение типа ч. I, п. 13.2
АВС / ~W+^T+C^ dz == AXy-\-Bx2-\-Cxb-\-D.
7.31. Р? + Р2 + Рз = 1; тип ч. I, п. 13.1.
z= Axl-\-Bx2-{-Cx3-}-D, где Ли-г-В"-г-С/,= 1.
ГЛАВА VIII
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БОЛЕЕ ЧЕМ ТРЕМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
«Л. Pip2-\~P3P4-\-xtpl-\-x2pi-\-x3pst-\-x4p4 = z; уравнение Клеро. Полный интеграл
z — 2 Л^ + (Л, Л2 + Л3Л4). Особый интеграл
<2- ¦ J? j j ~~~ Х^Х^ ш
5.2. Р1Р2Р3Р4 = + *2рг + -V3+-"W частный случай 8ЛЗ.
Из характеристических уравнений получают первые интегралы Ру/Ру и из них — уравнения
