Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Камке Э. -> "Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка" -> 74

Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.

Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка: Справочник. Под редакцией Н.X. Розова — М.: «Наука», 1966. — 258 c.
Скачать (прямая ссылка): kamke_es_srav_po_du.djvu
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 82 >> Следующая


p—Aev, д —У2е~у-\- Ахеу

и отсюда находим полный интеграл

z = Ахеу — ~ (у2 + 2у + 2) е~у + В.

6.61. xp^-\-ypq — 1; уравнение с разделяющимися переменными.

Из системы уравнений

• хр--\==А' УЯ — —А

6.67] 65-68. ар* + fcg2=/(x, у, z) 225

65—68. ap2 + bq2=f(x, у, г)

6.55. р2-|-<72 = «2; частный случай уравнения 6.56. Интегралами будут, например, плоскости

z = Ax + By + C, где Л2 + ?2 = я2.

Характеристики, проходящие через каждую точку (|, tj, С), образуют прямой круговой конус, ось которого параллельна оси z и который сам является интегральной поверхностью.

Если имеется интегральная поверхность, z (лг, у), которая для фиксированного х — \ содержит кривую

Х — Ъ,. У = г|. 2 = 0) Сл.) для —со<т)<-г-оо,

то 2(|, ч) = со(т]), т. е. 2^(2,, tj) = co'(t|), а потому, следовательно, должно быть |co'(rj)|^a; тогда, в силу уравнения,

zx(h у])— — Vа2 — со'2. Из характеристических уравнений

x'(t) = 2p, y'(t) = 2q, z'(t) = 2p2 + 2q2, р'(t) = 0, q'(t) = 0

находим:

p = ± V a2 — to's, q = (*>',

x=--l±2tVa2—u>'2, y = tj-r-2to/, 2 = co(ri)4-2a2^.

Три последних уравнения можно рассматривать как параметрическое представление искомого интеграла. Исключая параметры tut], получаем:

если to(ii) = с, то z = c + a(x — ?);

если со(г|) = а4-Рч, то 2 — а-f-ру ± (х — b)Va2 — Р2»

если ю(Г1) = у + -[| V1 +(а+Р'*1)2.

то

г = Y4- % ]/[1-т-р(х-|)]2 + (а + ру)2.

6.66. apL^-bqt^c; тип ч. I, п. 11.1.

Полный интеграл

z=Ax + By + C, где аА2 + ЬВ2 = с,

или

* _ (х — А)' , (у-В)"

с а ' b '

6.57. p2-f- q2 = ay-\-b\ частный случай уравнения 6.74.

2

За

z = Ax-*r-^-(ay-{-b — A2)2-\~B.

15 Э. Камке

226 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 16.6»

§(*-f А)2 +f (у- АУ + В.

6.59. р2 + а2 = х"+-у2; частный случай уравнения 6.74.

,_ | Arsh ) х г_

2z = xVx2± а2± ^2(Arch \~+уУу2+ а2т

{ Arch \ v + ^2|ArshR+^ причем аргумент функции Arch и больше 1.

6.60. р2 +¦ а2 = х2 -4- лгу 4- у2.

Полагая z(x, у) = ?(?,, г|), 2|=х-4-у, 2ц=х— у, получаем уравнение с разделяющимися переменными

Ц — 6|2=2т,2-?2.

Отсюда находим полный интеграл

z = j Y 6i2+Adh, + j V2т]2— Adr\+B.

Эти интегралы можно еще преобразовать при помощи гиперболических функций.

6.61. р2 + а2 = ахт 4- by" -f- с; частный случай уравнения 6.74.

z = ± f Yaxm + Adx ± J Ybyn + c — Ady.

6.62. p2 + q2=-r4=+b.

V x2 + y2

Полагая z(x, y) = ?(p, Щ> x = pcosf), y = psinf), получают уравнение с разделяющимися переменными

Р2С2 — ?р2— ар = — Ц, а из него — полный интеграл

2= ± J У b+f-?dP + Ab + B.

6.63. р2 +О3 =/(*); частный случай уравнения 6.74.

z = Ау+-В ± j У f(x) — A2 dx.

6.64. p2-\-q2 — f(x2+-y2); уравнение Гамильтона для плоского движения точки под действием центральной силы.

6.58. р1-\-а2 = х+у; частный случай уравнения 6.74.

л з

6.65] 55-68. ap> + bq* = f (x, у, z) • 227

Из характеристических уравнений следует:

{xq)' — (ур)' = 0 или xq — ур = А.

Обозначим г2=х2-|-у2; из этого уравнения и из первоначального следует, что

q = ^x-±l,Vr*f{r*)-A*,

или при gP= г2

z = — Harctg— ± -i Г |AgP/(eP) —Л2 ф+#. У * J

6.65. p2 + g2=f(x, у); тип ч. I, п. 11, 13.

Если представить уравнение в виде

?±?- + U(x.y) = C. (1)

то это уравнение Гамильтона для плоского движения точки.

Характеристическая система уравнения (1) без среднего ура-внения, т. е. без условия полосы, имеет вид

x'(f) = p. y'(t) = q. p'(t)=~Ux, q'(t) = -Uy. Отсюда

x" (/) =-Ux (x, у), у" (f) = — Uy (x, у).

Следовательно, уравнения х — х {f), y = y(t) можно рассматривать как уравнения движения точки с массой, равной 1, происходящего под действием потенциальной функции U (х, у). Из характеристических уравнений следует:

?±? + U(x, у) = С.

р2 + а2

Значит, выражение 2--кинетическая энергия, а написанное выше уравнение есть выражение для закона энергии.

Если найдено однопараметрическое семейство интегралов z — fy(x, у. А) уравнения (1), причем |фЛ*| + |фЛу| > 0, то траекториями этого движения будут кривые, удовлетворяющие уравнению

фЛ = const.

Уравнение (1) имеет большое значение для геометрической оптики. Если имеется неоднородная (но изотропная) среда с коэффициентом преломления f(x, у) в точке (х, у), та

228 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 16.66

Vet*+6

В частности, если с=1, ? —0, то

г = СехР ^ + 6у .

69-74. /(л:, у)+ у)92 = Л(*, J', *)

6.69. лгр2—уо2 — х-\-у; частный случай уравнения 6.74.

г= ± (yxlx+A)+-4ln\^AT + ^ \) ±

±{Уу(А-у) -^arctgj/AZJL)+S>

если х (х+- А) > 0, у (А — у) > 0; знаки перед скобками могут быть выбраны независимо друг от друга.

6.70. ах2рг -\- by2q2 = zc; однородное уравнение.

Полагая z(x, у) = ?(?, т|), | = 1пл\ ii = Iny, получаем из данного уравнения

оЦ+

а отсюда замена переменных (

?_|и2-с. если сФ2; [ еи, если с = 2

характеристики уравнения — пути световых лучей, и уравнение z = const задает фронт волны.
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed