Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
p—Aev, д —У2е~у-\- Ахеу
и отсюда находим полный интеграл
z = Ахеу — ~ (у2 + 2у + 2) е~у + В.
6.61. xp^-\-ypq — 1; уравнение с разделяющимися переменными.
Из системы уравнений
• хр--\==А' УЯ — —А
6.67] 65-68. ар* + fcg2=/(x, у, z) 225
65—68. ap2 + bq2=f(x, у, г)
6.55. р2-|-<72 = «2; частный случай уравнения 6.56. Интегралами будут, например, плоскости
z = Ax + By + C, где Л2 + ?2 = я2.
Характеристики, проходящие через каждую точку (|, tj, С), образуют прямой круговой конус, ось которого параллельна оси z и который сам является интегральной поверхностью.
Если имеется интегральная поверхность, z (лг, у), которая для фиксированного х — \ содержит кривую
Х — Ъ,. У = г|. 2 = 0) Сл.) для —со<т)<-г-оо,
то 2(|, ч) = со(т]), т. е. 2^(2,, tj) = co'(t|), а потому, следовательно, должно быть |co'(rj)|^a; тогда, в силу уравнения,
zx(h у])— — Vа2 — со'2. Из характеристических уравнений
x'(t) = 2p, y'(t) = 2q, z'(t) = 2p2 + 2q2, р'(t) = 0, q'(t) = 0
находим:
p = ± V a2 — to's, q = (*>',
x=--l±2tVa2—u>'2, y = tj-r-2to/, 2 = co(ri)4-2a2^.
Три последних уравнения можно рассматривать как параметрическое представление искомого интеграла. Исключая параметры tut], получаем:
если to(ii) = с, то z = c + a(x — ?);
если со(г|) = а4-Рч, то 2 — а-f-ру ± (х — b)Va2 — Р2»
если ю(Г1) = у + -[| V1 +(а+Р'*1)2.
то
г = Y4- % ]/[1-т-р(х-|)]2 + (а + ру)2.
6.66. apL^-bqt^c; тип ч. I, п. 11.1.
Полный интеграл
z=Ax + By + C, где аА2 + ЬВ2 = с,
или
* _ (х — А)' , (у-В)"
с а ' b '
6.57. p2-f- q2 = ay-\-b\ частный случай уравнения 6.74.
2
За
z = Ax-*r-^-(ay-{-b — A2)2-\~B.
15 Э. Камке
226 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 16.6»
§(*-f А)2 +f (у- АУ + В.
6.59. р2 + а2 = х"+-у2; частный случай уравнения 6.74.
,_ | Arsh ) х г_
2z = xVx2± а2± ^2(Arch \~+уУу2+ а2т
{ Arch \ v + ^2|ArshR+^ причем аргумент функции Arch и больше 1.
6.60. р2 +¦ а2 = х2 -4- лгу 4- у2.
Полагая z(x, у) = ?(?,, г|), 2|=х-4-у, 2ц=х— у, получаем уравнение с разделяющимися переменными
Ц — 6|2=2т,2-?2.
Отсюда находим полный интеграл
z = j Y 6i2+Adh, + j V2т]2— Adr\+B.
Эти интегралы можно еще преобразовать при помощи гиперболических функций.
6.61. р2 + а2 = ахт 4- by" -f- с; частный случай уравнения 6.74.
z = ± f Yaxm + Adx ± J Ybyn + c — Ady.
6.62. p2 + q2=-r4=+b.
V x2 + y2
Полагая z(x, y) = ?(p, Щ> x = pcosf), y = psinf), получают уравнение с разделяющимися переменными
Р2С2 — ?р2— ар = — Ц, а из него — полный интеграл
2= ± J У b+f-?dP + Ab + B.
6.63. р2 +О3 =/(*); частный случай уравнения 6.74.
z = Ау+-В ± j У f(x) — A2 dx.
6.64. p2-\-q2 — f(x2+-y2); уравнение Гамильтона для плоского движения точки под действием центральной силы.
6.58. р1-\-а2 = х+у; частный случай уравнения 6.74.
л з
6.65] 55-68. ap> + bq* = f (x, у, z) • 227
Из характеристических уравнений следует:
{xq)' — (ур)' = 0 или xq — ур = А.
Обозначим г2=х2-|-у2; из этого уравнения и из первоначального следует, что
q = ^x-±l,Vr*f{r*)-A*,
или при gP= г2
z = — Harctg— ± -i Г |AgP/(eP) —Л2 ф+#. У * J
6.65. p2 + g2=f(x, у); тип ч. I, п. 11, 13.
Если представить уравнение в виде
?±?- + U(x.y) = C. (1)
то это уравнение Гамильтона для плоского движения точки.
Характеристическая система уравнения (1) без среднего ура-внения, т. е. без условия полосы, имеет вид
x'(f) = p. y'(t) = q. p'(t)=~Ux, q'(t) = -Uy. Отсюда
x" (/) =-Ux (x, у), у" (f) = — Uy (x, у).
Следовательно, уравнения х — х {f), y = y(t) можно рассматривать как уравнения движения точки с массой, равной 1, происходящего под действием потенциальной функции U (х, у). Из характеристических уравнений следует:
?±? + U(x, у) = С.
р2 + а2
Значит, выражение 2--кинетическая энергия, а написанное выше уравнение есть выражение для закона энергии.
Если найдено однопараметрическое семейство интегралов z — fy(x, у. А) уравнения (1), причем |фЛ*| + |фЛу| > 0, то траекториями этого движения будут кривые, удовлетворяющие уравнению
фЛ = const.
Уравнение (1) имеет большое значение для геометрической оптики. Если имеется неоднородная (но изотропная) среда с коэффициентом преломления f(x, у) в точке (х, у), та
228 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 16.66
Vet*+6
В частности, если с=1, ? —0, то
г = СехР ^ + 6у .
69-74. /(л:, у)+ у)92 = Л(*, J', *)
6.69. лгр2—уо2 — х-\-у; частный случай уравнения 6.74.
г= ± (yxlx+A)+-4ln\^AT + ^ \) ±
±{Уу(А-у) -^arctgj/AZJL)+S>
если х (х+- А) > 0, у (А — у) > 0; знаки перед скобками могут быть выбраны независимо друг от друга.
6.70. ах2рг -\- by2q2 = zc; однородное уравнение.
Полагая z(x, у) = ?(?, т|), | = 1пл\ ii = Iny, получаем из данного уравнения
оЦ+
а отсюда замена переменных (
?_|и2-с. если сФ2; [ еи, если с = 2
характеристики уравнения — пути световых лучей, и уравнение z = const задает фронт волны.