Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
(Ах + Вуу А2 -|- В2 '
Чтобы получить полный интеграл, можно сделать преобразование
z(x, у) = ?(р, ¦&), Ar=pcost>, y=psint>. Тогда получается уравнение
(i-P)C| = p2(P-f-P2-i)Cg.
Из исходного уравнения вытекает, что 22-^[1; следовательно, ?2<^1-, а отсюда, в силу написанного выше уравнения, ?2 + Р2—1^-0. Поэтому написанное выше уравнение распадается на два квазилинейных уравнения
Yi=W^ ± р V?2+p2-Up = о.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения получают интеграл
Следовательно, интегралы первоначального уравнения находятся разрешением относительно z уравнения
6.1001 89-111. (..)ps + (..)e2 + (..)P7+ — 237
а интегралы первоначального уравнения задаются параметрически:
6.100. (хр +yq)2 — а2 (p2+q2; + 1) = 0.
Из характеристических уравнений получают первый интеграл q/p. Если положить q = pigA, то из данного уравнения получается:
JL_ = —1— = +-
cos A sin А У(х cos A -f- у sin А)2 — а2
следовательно,
z = ahrchxcosA + ysiriB+B.
6.98. (xp+yq)2 = z2(pq+l).
Из характеристических уравнений находится первый интеграл qjp\ теперь можно действовать по методу ч. I, п. 9.3. Если положить
*(*. У) = С(?). 1*-Ах + Ву.
то данное уравнение перейдет в обыкновенное дифференциальное уравнение
l%'2 = t?(ABt'2+\), являющееся однородным. Из него следует:
1п|?(? ± l/?2 —-ABE?)I = С--- 1 ;
отсюда, после возвращения к старым переменным и разрешения относительно z, получается полный интеграл.
6.99. (xp+yq)2 — z(xp+yq)=pq.
Посредством преобразования Лежандра ч. I, п. 11.14 полу» чают квазилинейное дифференциальное уравнение 2.52.
XZZX + YZZy = XY.
Интегралы этого уравнения получают из соотношения
238 ГЛ. VJ... НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 16.101
Можно также положить z(x, у) = ?(р, Ф), * = pcost>» y=psinf> и прийти к уравнению с разделяющимися переменными
Если в этом равенстве положить левые и правые части равными А2, то получается:
1 = а\пУ±±±-АмсЪ^+АЪ + В, где о2 = ^±§.
6.101. (хр+уд)2+р2 -\-q2 — z (хр+уд) = 0.
С помощью преобразования Лежандра ч. I, п. 11.14 получают квазилинейное дифференциальное уравнение 2.53
XZZX + YZZY — — X2 — К2.
Из решений
X2+Y2+Z2 = Q(u), " = (1)
этого уравнения (где 2(a) — такая произвольная непрерывно
дифференцируемая функция, что 2 ^J > X2 -f- Y2 в конечной
области X, Y) получается решение первоначального уравнения в параметрическом представлении:
Z = хХ -)- yY — Z, х = — ~ — Q' (a)»
Кроме того, интегралами являются функции z = const.
6.102. (хр-{-уд — г)2 = рд.
Дифференциальное уравнение распадается на два уравнения Клеро
z = xp + yq ± Урд с полными интегралами
г = Ах + Ву ± У~АВ, АВ^.0.
6.103. (хр~\~уд — гГ^аръ+ЬдЬ+с.
Уравнение распадается на два уравнения Клеро z — xp-\-yq ± Уap2-\-bq2-{-c с полными интегралами
z = Ах + By ± \UA2-{-bB2~\- с.
6.ю51 89-m. (..>р*+(..)?*+(..)р?+ ... ' 239
Особые интегралы получаются из соотношения
а 1 Ь 1 с
6.104. (л-р-т-^ — г)2 = л:р24-.у02.
С помощью преобразования Лежандра получают квазилинейное уравнение 2.39
A"2Zx4-K2ZK = Z2. (1)
его решения—функции
При этом решения первоначального уравнения получают в параметрическом представлении с параметрами X, К:
z = \uq'(u)-q{u)\Z\ jc = -g[I—Q'(o)l. у = -^-2».
где
К— У
xy
> Ze[-r+Q<B)]",<
Если рассматривать уравнение (1) как однородное (ч. I, п. 11.10), т. е. положить
Z(X, К) = С(?. n). I = tV. л =
то получается уравнение типа ч. I, п. 11.3
Для уравнения (1) получают полный интеграл
и отсюда — полный интеграл первоначального уравнения
У— cz = У ale -f j/ZJy — 1-
6.105. (xp+yq — z)2=[a2(^-4-y24-z24- 1) — 1] (p24~<724-1).
Если перейти методом ч. I, п. 12.3(a) к дифференциальному уравнению, которое не содержит искомой функции, т. е. определить функцию z (х, у) из уравнения w (х, у, z) = 0, то для w получается уравнение 7.20
{x"Wx ~\- ушу ~\- zwzy —
= [а2 (х2 + у2 + z2 4- 1) - 1] (да2 4- *»1 4-
240 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 16.106
6.106. (хр +уд — zy = а2 (х2 +у2 ¦+ z2)2 (р2 + q* + I).
Полный интеграл получают из соотношения
(д, _ л)2-4- (у-Я)2 4- (2-С)2= ^ при условии, что
Л2 + В2 + С2=_1_:
особый интеграл
*2-Ь У2+ z2 = -aT-
6.107. (д-р 4-M-z)2= /(дг2+у2) (р2^-^).
Из характеристических уравнений получаем, что (ур—xq)/z—¦ специальный интеграл. Если положить его равным А и использовать первоначальное уравнение, то можно определить р, q и затем, проинтегрировав, найти z. Ср. с 9.3, пример 2.
Если положить
In \z(x, y)\—Z(p, •&), Ar = pcosf>, y = psin6", то уравнение переходит в уравнение
(p?p-l)2 = /(P2)(?2+-i-a).
в котором можно разделить переменные.
6.108. x"(xp+yq — z)2 = y2q; тип ч. I, п. 11.7.
Из характеристических уравнений получают первый интеграл
q. Если положить его равным А2 (так как из уравнения
следует, что q^-0), то, используя начальное уравнение, можно получить уравнения
