Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
I Ах\2 . Ах2 . -
<?=(—) • *рН—у--г = А-
откуда, проинтегрировав, имеем:
z = ———\-А + Вх; У
это — конусы, вершины которых лежат на оси z.
6.109. (х2+f - 1) [(xp+yq - zf - (р2+ q2)\ +- z2 = 0.
Подстановка
z(x, у) = ?(|, T|), Ar = pcosf), y = psinf>
6.117] 112—127. УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ ОТНОСИТ. P.q 241
приводит к уравнению 6.87
(Р2— 1) [Р2 ($>p — ?f — P% — Щ + 9%2 = 0.
6.110. /(лг, з») р2+# (лг, з») pq + Л (лг, з>) Ч1 = * (•*, у).
В дифференциальной геометрии уравнение встречается в следующем виде:
*(?Г-^?+с(?)* = ?С-Р;
при этом задаются основные величины Е, F, G.
6.111. (/жр-г-/^-/г)2 = (/2+/^+/^-1)(р2 + ^+1),
/=/(•*, У, г).
Геометрическую интерпретацию задачи см. S. Lie, Math. Annalen 5 (1872), стр. 198.
112—127. Уравнения третьей и четвертой степени относительно р, q
6.112. fP = aq-\-bx; уравнение с разделяющимися переменными
6.113. бр3 + (л: — 2)р + (з»—\)q — z; уравнение Клеро.
Полный интеграл
z — Ах -\-By-\- 5Л3 — 2 А — В. Интегралами также являются:
з
z==-10p=^)2+C(y-l). Особого интеграла нет.
6.114. р3—ybq — x2—у2; уравнение с разделяющимися переменными.
г = 1п|у|— ф+ ffx'+Adx + B.
6.115. fP = zq; тип ч. I, п. 11.3.
z = ^(x + Ay-{-B)2.
6.116. p3 = az2q; тип ч. I, п. 11.3.
z = Bexp[± УаА(х-f-Ау)].
6.117. p3 = ^; тип ч. I, п. 11.2.
z — А2х -{- Л3у + В.
242 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 16.118
1А2
В.
6.120. (p2 + a)q = (bz + c)p; тип ч. I, п. 11.3.
2^-ив^Ах+ВУ + С^ + ^АТ^-
6.121. p"(g-\-a) — (bz-\-c)g', тип ч. 1, п. 11.3.
ЬВ (Ах + By + С) = AR + аА2 In | R — а А |.
где
R2 = 4bB2z + а2 А2 4- 4сВ2.
6.122. (хр+уд-\-г)д2+р*- = Ъ.
Из характеристических уравнений находят первый интеграл — . Если положить его равным А, то получаются уравнения
__ л z-\-A2 _ z-\-A2
Р~ А Ах 4-у ' д~ Ах + у;
отсюда и из исходного уравнения получается полный интеграл
z= — А2 + . В. .
1 Ах-\-у
6.123. (хр+уд— z)3 + 27pg = 0; уравнение Клеро.
Полный интеграл z = Ах-\-Ву-\-Ъ v^AB; особый итеграл yzx = 1.
6.124. (хр4-yq)pq—xpl—yq2—(x + У +z—l) рд + z(p-\-g)=--0.
Уравнение можно записать как уравнение Клеро
РЧ
z—xp + yq +
pq — p-
если знаменатель =?0, т. е. если исключены тривиальные интегралы z — C. Полный интеграл
HID. AB
z=Ax+By+ АВ_А_В, или, при другом обозначении констант,
. , = M + особый интеграл
z={V~x~+Yy~ + if.
6Л\8. y2pi + xp-\-3yq = 0 см. ч. I, 14.8(b).
6.119. p^q — x^y; уравнение с разделяющимися переменными.
Ах2 . у2
6.1291 128-139. ПРОЧИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 243
6.125. 9(р2 —2z)2 = 4#3; тип ч. I, п. 1L3.
Уравнение можно решать и с помощью замены z = u(x)-\~ + v(y).
Полный интеграл
,_ (х + А)2 | (У + Д)3
z— 2 "т~ 3
особые интегралы:
2 = 0 и Z = --l_i_.
6.126. z2p2q2=y2pl-\-x2q2; однородное уравнение.
Полагая
У) = ?(1. ч). 1=х2, г, = у2, получаем уравнение
Отсюда находим тривиальный интеграл z — С и полный интеграл
22 = уГ/1г + 1 (*2 + Л у2) + В.
6.127. (л^+у? — z^^+jytf^pV-
После применения преобразования Лежандра ч. i, п. 11.13 получается квазилинейное дифференциальное уравнение 2.64
X2Z2ZX + Y2Z2Zy = X2Y2. Интегралы этого уравнения получают из равенства
Эти уравнения вместе с соотношениями
х = Zx, у = ZY, z = xX -\-yY— Z дают параметрическое представление искомых интегралов z (х, у).
128—139. Прочие нелинейные уравнения
6.128. Ур + У# =ах; уравнение с разделяющимися переменными.
z — -\-А2у-\-В для ах > А.
6.129. Ур2 + #2+ 1 -\-xp-\-yq = z; уравнение Клеро. Полный интеграл
z = Ах + By + У Ж+ТР + Т-,
244 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [6.13.
? — & — i»
особый интеграл — верхняя половина (z > 0) сферы
*2 + У2+*2= 1.
Интегралы — те гладкие поверхности, все касательные плоскости к которым отстоят от начала координат на расстояние, равное единице.
6.130. УУч
— р -f- xp-\-yq = z; уравнение Клеро. Полный интеграл
z = Ах -f By + — А
или, при других значениях констант,
z~(A — В2) х -f- А2у -4- В;
особый интеграл
г===4Т—4j для *>0- у>0-
6.131. (pq)a = xp—yq.
Из характеристических уравнений получают первый интеграл pq. Если положить pq — А, то, используя исходное уравнение, можно получить уравнения
и отсюда найти полный интеграл
*-, = 4ln|?|±*±?ln|?^i| + A
' где _
/г=У4*ул1-2"+1.
6.132. ОвР + вг»)^*?— з,р.
Из двух последних характеристических уравнений получают первый интеграл p2-\-q2- Если положить его равным А, то для определения полного интеграла получаются два уравнения
Можно также применить преобразование
z(jc, у) = ?(р, т>), x = pcosr>, y = psinft,
тогда получается уравнение
«.139] 128—139. ПРОЧИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 245
Полный интеграл
€.133. (p2 — q2f=yp- xq.
После замены переменных
z(x, y) = Z,(l. tj). 2l = x + y, 2r)=--x — y уравнение переходит в уравнение 6.131
