Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
6.66. ap2-\-bq2 = cz; тип ч. I, п. 11.3.
*=4(аЛ« + *В') {Ах+Ву + С?; z = 0.
6.67. р2-\-а2 = (х1-\-у2) Z; однородное уравнение.
Полагая и (х, у) — 2 У z , получают уравнение с разделяющимися переменными
"2 — х2=*у2 — и2;
следовательно,
и = j У х2-\- A dx~\- j У у2 —A dy + B.
€.68. p2+-q2 = az2 + b; тип. ч. I, п. 11.3.
Полагая z(x, у) = ?©, 1 = Ах -f-By, получаем
6.721
9-74. / (x, у) fP+g (jr, у) ?!=ft у, г)
229
приводит нас к уравнению 6.56
аи\ -4- Ьи2
1,
если
если
сф 2; с = 2.
6.71. (дг-1-Ci) (дг+а2)р^— (З' + аО (З'+аг) ?2 = fll/j:4-Oi ~\-
+ & Уд» -|-«а + с (лт — д>); уравнение с разделяющимися переменными.
Полный интеграл
_ J -|^/ ^-{-CJf-T-flK-«:-T-flI
dx-\-
(X-f-flj) (-"f-r-fl2)
¦fc^y + <
(y + fii)(y + a2) Если уравнение Гамильтона 6.65
dy + #.
г.
m2 /¦2
(уравнение движения точки с массой, равной 1, в плоскости х, у под действием гравитационных сил, создаваемых массами тх, т2, находящимися в точках х = ± 1, у = 0) преобразовать к эллиптическим координатам, то получится данное уравнение с 2а — — т{-\- т2, 2Ь = т1 — т2 и с klt %2 вместо х, у. При этом точке (лг, у) соответствуют как эллиптические координаты параметры Я,1, А2 (Aj < К2), определяющие
х2
У
V У
0
X
два конических сечения
Рис. 22.
1 (рис. 22), которые проходят через точку (лг, у)
при фиксированном ах > а2 > 0, — я2 = 1.
6.72. 4у (с — лг) (& — лг) (<? — лг) р2 — 4лг(с — у) (& —у) (с —у) ?2 =
= (лг—у)лу.
Если поделить уравнение на ху, то можно разделить переменные. Тогда получается полный интеграл
где
N (х) = {а — х)ф — х)(с — х).
16 Э. Камке
230 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (6.73
Это уравнение встречается при отыскании геодезических линий на эллипсоиде с полуосями а, Ь, с.
6.73. (р2—l)sin2je-f-^2 = 0; частный случай уравнения 6.74.
г = Ау + В±\/х--^ах.
Это уравнение возникает при введении ортогональных геодезических параметрических линий на единичном шаре.
6.74. /(дг) р2 + S (У) Q2 = Ф (¦*) + Ф ОО; уравнение с разделяющимися переменными.
Уравнение встречается в дифференциальной геометрии при изучении поверхностей Лиувилля.
75—80. /(дг, у, z)p2 + g(x, у, z)q2 = h(x, у, г)
6.75. ар1-\-bzq2 = с2; уравнение типа ч. I, п. 11.3.
b&z = — ял2+р^(Лх + Ду4-о)3 •
6.76. zip2 — q2) = x — у.
Полагая z(x, у) = ?(|, ц), Ь = х — у, г|==д;4-у, получают уравнение
4ЙЕ^ = ?.
а из него подстановкой ? = н(|)г>(т)) находят интеграл первоначального уравнения
8z*=[3(x-y)2 + A) [3(х + у) + Д].
6.77. xzp2—yzq2 = x-\~y; однородное уравнение.
Замена неизвестной функции
2 1
«(*. У) = -з 2:2 приводит к уравнению 6.69 с разделяющимися переменными х(«2-1) = у(«24-1>
6.78. z2 (р2-\- q2) = х2-{-у2; однородное уравнение.
Замена неизвестной функции 2н (х, у) = z2 приводит к уравнению 6.59
и1 + и1 -=х2 + у2.
6.82|
81-88. (..)/*+(..)?* + (..>р + (..)(7+ .
231
6.79. z2 (ар2-\- bq2) = z2 -4-с; уравнение типа ч. I, п. 11.3.
Применение метода ч. I, п. 11.3 приводит к полному интегралу
(aA2-\-bB2)(z2 + c) = (Ax-\-By+C)2. (1)
Если подставить z2 = и (х) -\- v (у), то можно разделить переменные и получить полный интеграл в виде
Если а — —1, Ь —— 1, с — — г2 < О, то соотношение (1) описывает цилиндрические поверхности, соотношение (2) — сферы
(х — А)2 ~\-(у — В)2 -\- z2 — г2.
Интегралами являются в этом случае также огибающие поверхности, если они есть, к тем из этих сфер, центры которых движутся в плоскости х, у вдоль одной кривой (при этом могут появляться ребра возврата), т. е. трубчатые и каналовые поверхности.
6.80. г2(у2р2-\-х242)==а2х2у2; однородное уравнение.
Замена переменных
2? (4, ti) = 22, 21 = х2, 2г) = у2 приводит к уравнению 6.55
81-88. (..)/? + (..)?* + ()#> + (• ¦)*+ •••
6.81. р2-h q2-\-хр Ar yq — Z — 1; уравнение Клеро.
Полный интеграл
z = Ах + Ву + А2 + В2+ 1; особый интеграл 4z -4- х2 -f- у2 = 4.
6.82. p2 + q2 — 2xp — 2yq-\-2xy = 0.
Из характеристических уравнений получается первый интеграл р-\~д — х — у и затем полный интеграл
2z^x2 + y2 + A(x + y)±(x~y)j/r(Х~уГ —+
+2/2 А ~
причем \х — у\ > -р==- и функция Arch имеет здесь знак х — у.
16»
232 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [6.83
Если применить преобразование rn n)=z — ——-?- I— х-у п......- Х + У
т© получается уравнение с разделяющимися переменными
которое снова приводит к написанному выше полному интегралу.
6.83. p2 + q2 — 2yp — 2xq=i—x2—y2 или (p—y)2 + (q—x)2 = 1.
Из характеристических уравнений получают первые интегралы р — у и q — х и, таким образом, находят полный интеграл
z = xy-+- Ах + Ву + С, где А2~\-В2=1.
6.84. рп- -4- q2 — 4 (хр-4-yq — г); уравнение Клеро.
J^-X-B2
Полный интеграл z = Ах-\~Ву--j-; особый интеграл z = х2 -4- у2. Частные интегралы:
о ¦ г. В2 , . . А2. (Ах + Ву)2 х2 + Ву--г. у2+Ах--г, У А^в7 •
