Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
. .. . (W
6.134. (xp—yq)a = pq; см. 6.131.
6.135. / Р2 У+/-Л—г° = г^»; см. ч. I, п. 11.10. \ cos xl \ sin у /
6.136. е? — x(q-\-y); уравнение с разделяющимися переменными.
" V2
z — Ay— -tj- + х In (Ах) — х-{-В.
6.137. In p-\-ay>(p-\-q) — 2ayz — 2lny = b.
Из характеристических уравнений получают первый интеграл ply1. Теперь можно действовать по методу ч. I, п. 9.3. Можно также применить преобразование z — y2u(x, у); для и получится дифференциальное уравнение
Ь — \пиу у ay* х
С помощью обоих методов получаем полный интеграл z = Аху2- Луз + lnA~b + ВуК
6.138. In (pq) -4- хр-4-yq = z; уравнение Клеро.
Полный интеграл
z —Ах + By + In (АВ), если АВ > 0; особый интеграл
z = — 2— In (лгу), если ху > 0. 6.139 p — sinxq; тип. ч. I, п. 11.4.
z = Д- cos Ах — Ау-\-В.
VI Э. Камке
ГЛАВА VII
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
1—7. Уравнения с одним или двумя квадратами производных
7.1. # + 2луу», + 2xvxap2+ 2р3 = 0.
Из характеристических уравнений получают первые интегралы
х2 ( х2\
(Pl + P2)eXP-f" И (Pl—p2)eXP\--
Если положить их равными 2А, 2В, то получаются уравнения р, = А ехр (— и=г)+ В ехр 4р,
Рч—А ехр^--^) — в ехР ~Y•
которые вместе с исходным уравнением образуют полную систему. Из этих трех уравнений можно определить также р3 и получить, таким образом, полный интеграл
z = А (Ху + х2) е~х + В (Ху — х2) ех — АВх3 —
— i J (А2е~2Х + ВЧ2Х) dx3 + С, где 2Х =
7.2. ар2-{-Ьр2 = х2р3; уравнение с разделяющимися переменными.
z = Axy + Bx2-^±™- + C.
х$
7.3. p2+pl=zp3 + z2; тип ч. I, п. 13.2.
Подстановка
г = Ш. 1 = Аху-\-Вх2 + 2Сх3 приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению
7.71 1-7. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ ИЛИ ДВУМЯ КВАДРАТАМИ ПРОИЗВОДНЫХ 247
с решением
7.4. Р2 — ргРл=г(рг + ряу, тип ч. I, п. 13.4.
Полагая ? = ln|z|, получаем уравнение ч. I, п. 13.1 Г2 ~Г Г -4-? I Т •
полный интеграл ln\z\ = Ax1-\-Bxz-+-Cx3-{-D, где А2 = ВС + В + С.
7.5. а (р, — р2) р3 + Ьх3(х2Рх + xtp2) = с.
Из характеристических уравнений получают первые интегралы
2a(Pl — p2) — bx\, р\ — р2. (*, + *а)(Р, + Р,)-
Уравнения, образованные из первых двух интегралов
2a(Pl-p2)-bx2 = A, pl-pl = B.
находятся в инволюции как с данным уравнением, так и друг с другом. Поэтому, если эти три уравнения разрешить относительно Pl, р2, р3 и затем проинтегрировать, то мы получим интегралы исходного уравнения
г—*1=^Х + аВ2^*-\-2с |*^-3 + С, где Х*=Ьх\-\-А.
7.6. 2Р1(хаР2 + х2Рз) + 2Ху + х2 = 0.
С помощью преобразования Лежандра
xv — ZXV = Pv< Pv — -*"v получают уравнение 7.1.
P% -f- 2АГ, (ХзР2 + XiPz) + 2Pi = 0.
7.7. xxzPx (x3t>2 + х2Рз) = a (xlPl + 2z).
В уравнении можно разделить переменные. Если положить z — u(Xl) v (х2, х3), то получается
а х,и'-\-2и . , Первое равенство дает
17*
248 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [7.8
или
3 4ах
4 S аЛ
v=l
v=l
7.12. р\-\-р1 + р| = ¦*? + -*| + л*з5 уравнение с разделяющимися переменными, з
следовательно,
ехр-2^- = Вх\и.
Второе равенство приводит при w — v2 к линейному дифференциальному уравнению
с интегралами
v2=2Aln\x2 + x3\ + Q(x2 — х2).
8—14. Более двух квадратов производных с постоянными коэффициентами
7.8. (pI-T-p2)2=2p3 + z; тип. ч. I. п. 13.2.
Подстановка
г = l=AXl + BX2 + Cx3
приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению (Л + Д)2С'2=2Се'+?;
его решение
2и —2Cln|« + cl = ^ + D, где и2 = (А + В)2 ? -4- С2.
7.9. ар2+&р|+ср2=1; тип ч. 1, п. 13.1.
Полный интеграл z = AXl-\-Bx2-\-Cxs + D, где аА2-\-ЬВ2 + сС2= I.
7.10. ар^+Ьр^ + ср^ — ф, тип ч. I, п. 13.1.
Полный интеграл
z = AXl-\-Bx2 + Cx3-\-D, где aBC + bCA-\-cAB = d.
7.11. ахр\ + а2р\-{-а^ — г; тип ч. I, п. 13.4.
7.15J 15-21. ОСТАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КВАДРАТАМИ ПРОИЗВОДНЫХ 249?
7.13. р\ + pl + Р\ = А+л2 -Ь х\ + *,*2 + дг^з + *з*1-
Из характеристических уравнений легко получаются первые, интегралы и с их помощью образуются находящиеся в инволюции уравнения
2 (Pi — Pi? — (*i — x2f = A, (Pi + Рч + Рз)2 — 2 (X! + x2 + д;3)2 = В. Из всех трех уравнений находят pv р2, р3 и затем определяют z.
7.14. Р^+рЦ-р^г^^+лг^+дГзРз).
Из характеристических уравнений получают, например, первые интегралы p2/pv Рз/Pi- Если при этом положить:
Ар2 = Врх, Ар3 = Срх,
то получается полная система трех уравнений. Из этой системы» находим:
2А (Axj -\-Вх2-\-Сх3) Pi— А* + Вг+Сг
следовательно,
__(Axtrj-Bx2 + Cx3y
А2+В*-\-С*
Уравнение можно решить и другим способом. Например., данное уравнение имеет интеграл
-2 „2
ч
х.
z + A^ z + B^ г+С~ •
15—21. Остальные уравнения с квадратами производных 7.15. р, (р, + Р2) + ххр2 (х3р2+р3) = axv
Из характеристических уравнений получают первые интегралы р2, Рз + лтзРз- Если их положить соответственно равными А, В, то вместе с данным уравнением получаются три находящиеся в инволюции уравнения
