Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
AiPv=AvPi 0 = 2. 3. 4),
которые вместе с данным уравнением образуют полную систему. Четыре уравнения можно разрешить относительно pv, при этом получается
3 (Л,лг,+ ... -М«*«)8 , .
Z - j г- л0.
(Л, ... aS*
8.3. (р, — р2) (р3 4- *4) (р4 4- х3) 4- jf2pt 4- лг,р2 = 1.
Переменные разделяются, после чего уравнения (Рз+хлНР4 + хз)'=А- *2Pi4-*iP2 + 4(p, — р2)= 1
можно решить с произвольной константой А. Для первого уравнения легко находится полный интеграл
Zl — -^З-*^ ~Г" Вх3 ~Г~ ~g" -*4'
Второе уравнение линейно, его интегралами являются
z2 = In I а:, 4- x214- 2 [(*! 4- x2), (atj — x2 — 2A)\,
8.6) ГЛ. VIII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВН. С БОЛЕЕ ЧЕМ ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 255-
где 2 — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Интегралами данного уравнения будут функции z = zl-\-z2-
8.4. p\py>lp\ = x%pt -f- хгр2-f- Jfgpg+х4р4; частный случай 8.13. Процесс решения см. в 8.2
__7 ¦¦¦ +А<х<)т , л
*~1 (А ...А)"7
8.5. (pt + xtp3)pi + (p2-{-x5p3)pl. = 0.
Так как хх, х2, х3 не входят в уравнение, то можно произвести замену
z = Ахх -\- Вх2 -f-Схъ + и (хА, х5).
Тогда для и получается линейное однородное уравнение с главным интегралом
„_ Сх< + А и— Сх5 + В '
В более общем виде интегралы данного уравнения — функции? z=q[axx + Bx2 + Cx3, с% + в)'
где 2 — произвольная непрерывно дифференцируемая функция^ Интегралами являются также функции
z = Ахх 4- Вх2 4 (ad — ВС) аг3 4-
4 (Схх + Dx2+Е) (Вх4 — Ах5) 4 F.
8.6. pt [р5 4- х5 (х4р4 + лу>5)] — рг [р4 + х4 (х^ 4 х5р5)] 4
Так как хх, х2, х3 не входят в уравнение, то можно произвести замену
2 = Ахх-\- Вх2-\-Сх3-\- и(х4, х5).
Тогда для и получается линейное однородное уравнение с главным интегралом
в== (Axt + BXs-C)*
^4^141
В более общем виде интегралы данного уравнения — функции 2 = 2^ + ^4-^3, Ш\+В77,С)\
256 гл. viii. нелинейные уравн. с более чем тремя переменными [8.7
где Q — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Интегралами являются также функции
z — 2 {ххх4 -\~ х2х5 — х3, л:4, х5). «•7. Р,Р4 + (Здг2 4- 2*3) р2р4 4- (4*2 4- бдг3) р^р4 +
При делении на р4 получается:
Pi 4- (Злг2 4- 2*з ) Р2 4- (4*2 + 5лг3) р3 4-
Из характеристических уравнений следует: хх 4~ 1° I Рг — Рз I — const, 7лт! 4- | Рг 4- 2Рз | = const, т. е.
р2=2Ае-^-\-Ве-1х', р3 = — Ае~х>Ве~7хк (2) Далее, из характеристических уравнений следует:
inl-^- = ЗАе~х> 4- const, I Р* 1
т. е.
Р5 = — Ср* ехр (3 Ае~х'),
таким образом, если еще раз обратиться к характеристическим уравнениям,
р4 = D ехр (С J еЗАе~х< dx^,
р5 = — С De3Ae~Xl ехр (с J* езле-*. dXij (3)
Так как уравнения (2) и (3) получены из первых интегралов уравнения (1), то они с (1) в инволюции. Кроме того, очевидно, что они в инволюции и друг с другом. Поэтому уравнения (1), (2), (3) имеют общие решения. Подставляя (2) и (3) в (1) и интегрируя, получаем z — А (2лг2 — хъ) e_jr> 4-
+ В(лг24-л:з) e~7x'-{-D(x4—Cx5e3Ae~x,)exp (с J ^'^dx^+E.
Можно поступить и так: из характеристических уравнений •следует также
Х4Р4 4- хбРб = const, ePi~Pi = const,
-s. е. вместе с (2)
С CD ехр ЗАе~х'
€.10] ГЛ. VIII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВН. С БОЛЕЕ ЧЕМ ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 257
Оба эти уравнения, вместе с уравнением (2) и данным, находятся в инволюции друг с другом. Из данного уравнения можно определить р{ и получить наконец
z = А (2х2 — агз) е-* + В (лг2 + аг3) е-7*' +
+ С In | х4 + Dx5 ехр 3 Ае~х' \-cdj ехр 3 Ае~** dxx + Е.
С помощью преобразования Лежандра уравнение переводится в линейное дифференциальное уравнение.
8.8. (х2рл + xlPi) хг + (р, — рг) рй \р\+(х4+р5) (хв + р5) хв] = а,
афО.
Решая уравнения
Pl + (x4+Р5)(х6+Р5)Р6=А, (1)
(*2Pi + *iP2)*3+^(p,— р2)рг = а, (2)
получают интегралы для произвольной константы Л. Если и(х4, х5, х6) и х2, х3) — интегралы этих двух уравнений,
то u-\-v — интеграл данного уравнения. Так как (1) не зависит от х5, то решения получаются, если р5 = В считать константой. Тогда (1) — уравнение с разделяющимися переменными, и
2 " ^
и= з^И+С(*4 + В)]2+Вх5-С1п(х6 + ?).
Решения (2) получаются из 7.5.
8.9. р,р2 ¦ ¦ ¦ рп = ххх2 ... хп; уравнение с разделяющимися переменными.
п
22=2^+И0, где Л, ... Ля=1. ,
v=l
или
я
(г-ов=(у)"ПК-У для любых с. iv.
v=l
8.10. р,р2 . .. Р„ = х1р1+х1рг+ . .. +JC„P„; это частный случай 8.13.
Из характеристических уравнений получаются первые интегралы pJPi. Если при этом положить Axpv = Avpx (v = 2.....п),
то получается полная система п уравнений, а из нее — полный интеграл
* = А0+-7Г±-{А1 ... АПУ-» (ЛЛ+... 4-ЛЛ)«-1.
258 ГЛ. VIII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВН. С БОЛЕЕ ЧЕМ ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 18.11
8.11. р,р2 ... р„ = (alPl - z) (агрг — z) ... (а„р„ — z).
ДляЦх,.....д:„) = 1п|.г| получается уравнение 13.1 из ч. I:
(а1?д.( — 1) ... {antXn — \) = lXi ... tXn с полным интегралом 1= А0 + А1х1+ ... +Лялглдля 1)...(а„Л„—1)==
= Л, ... Ап.
П I