Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Камке Э. -> "Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка" -> 81

Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.

Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка: Справочник. Под редакцией Н.X. Розова — М.: «Наука», 1966. — 258 c.
Скачать (прямая ссылка): kamke_es_srav_po_du.djvu
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 >> Следующая


AiPv=AvPi 0 = 2. 3. 4),

которые вместе с данным уравнением образуют полную систему. Четыре уравнения можно разрешить относительно pv, при этом получается

3 (Л,лг,+ ... -М«*«)8 , .

Z - j г- л0.

(Л, ... aS*

8.3. (р, — р2) (р3 4- *4) (р4 4- х3) 4- jf2pt 4- лг,р2 = 1.

Переменные разделяются, после чего уравнения (Рз+хлНР4 + хз)'=А- *2Pi4-*iP2 + 4(p, — р2)= 1

можно решить с произвольной константой А. Для первого уравнения легко находится полный интеграл

Zl — -^З-*^ ~Г" Вх3 ~Г~ ~g" -*4'

Второе уравнение линейно, его интегралами являются

z2 = In I а:, 4- x214- 2 [(*! 4- x2), (atj — x2 — 2A)\,

8.6) ГЛ. VIII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВН. С БОЛЕЕ ЧЕМ ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 255-

где 2 — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Интегралами данного уравнения будут функции z = zl-\-z2-

8.4. p\py>lp\ = x%pt -f- хгр2-f- Jfgpg+х4р4; частный случай 8.13. Процесс решения см. в 8.2

__7 ¦¦¦ +А<х<)т , л

*~1 (А ...А)"7

8.5. (pt + xtp3)pi + (p2-{-x5p3)pl. = 0.

Так как хх, х2, х3 не входят в уравнение, то можно произвести замену

z = Ахх -\- Вх2 -f-Схъ + и (хА, х5).

Тогда для и получается линейное однородное уравнение с главным интегралом

„_ Сх< + А и— Сх5 + В '

В более общем виде интегралы данного уравнения — функции? z=q[axx + Bx2 + Cx3, с% + в)'

где 2 — произвольная непрерывно дифференцируемая функция^ Интегралами являются также функции

z = Ахх 4- Вх2 4 (ad — ВС) аг3 4-

4 (Схх + Dx2+Е) (Вх4 — Ах5) 4 F.

8.6. pt [р5 4- х5 (х4р4 + лу>5)] — рг [р4 + х4 (х^ 4 х5р5)] 4

Так как хх, х2, х3 не входят в уравнение, то можно произвести замену

2 = Ахх-\- Вх2-\-Сх3-\- и(х4, х5).

Тогда для и получается линейное однородное уравнение с главным интегралом

в== (Axt + BXs-C)*

^4^141

В более общем виде интегралы данного уравнения — функции 2 = 2^ + ^4-^3, Ш\+В77,С)\

256 гл. viii. нелинейные уравн. с более чем тремя переменными [8.7

где Q — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Интегралами являются также функции

z — 2 {ххх4 -\~ х2х5 — х3, л:4, х5). «•7. Р,Р4 + (Здг2 4- 2*3) р2р4 4- (4*2 4- бдг3) р^р4 +

При делении на р4 получается:

Pi 4- (Злг2 4- 2*з ) Р2 4- (4*2 + 5лг3) р3 4-

Из характеристических уравнений следует: хх 4~ 1° I Рг — Рз I — const, 7лт! 4- | Рг 4- 2Рз | = const, т. е.

р2=2Ае-^-\-Ве-1х', р3 = — Ае~х>Ве~7хк (2) Далее, из характеристических уравнений следует:

inl-^- = ЗАе~х> 4- const, I Р* 1

т. е.

Р5 = — Ср* ехр (3 Ае~х'),

таким образом, если еще раз обратиться к характеристическим уравнениям,

р4 = D ехр (С J еЗАе~х< dx^,

р5 = — С De3Ae~Xl ехр (с J* езле-*. dXij (3)

Так как уравнения (2) и (3) получены из первых интегралов уравнения (1), то они с (1) в инволюции. Кроме того, очевидно, что они в инволюции и друг с другом. Поэтому уравнения (1), (2), (3) имеют общие решения. Подставляя (2) и (3) в (1) и интегрируя, получаем z — А (2лг2 — хъ) e_jr> 4-

+ В(лг24-л:з) e~7x'-{-D(x4—Cx5e3Ae~x,)exp (с J ^'^dx^+E.

Можно поступить и так: из характеристических уравнений •следует также

Х4Р4 4- хбРб = const, ePi~Pi = const,

-s. е. вместе с (2)

С CD ехр ЗАе~х'

€.10] ГЛ. VIII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВН. С БОЛЕЕ ЧЕМ ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 257

Оба эти уравнения, вместе с уравнением (2) и данным, находятся в инволюции друг с другом. Из данного уравнения можно определить р{ и получить наконец

z = А (2х2 — агз) е-* + В (лг2 + аг3) е-7*' +

+ С In | х4 + Dx5 ехр 3 Ае~х' \-cdj ехр 3 Ае~** dxx + Е.

С помощью преобразования Лежандра уравнение переводится в линейное дифференциальное уравнение.

8.8. (х2рл + xlPi) хг + (р, — рг) рй \р\+(х4+р5) (хв + р5) хв] = а,

афО.

Решая уравнения

Pl + (x4+Р5)(х6+Р5)Р6=А, (1)

(*2Pi + *iP2)*3+^(p,— р2)рг = а, (2)

получают интегралы для произвольной константы Л. Если и(х4, х5, х6) и х2, х3) — интегралы этих двух уравнений,

то u-\-v — интеграл данного уравнения. Так как (1) не зависит от х5, то решения получаются, если р5 = В считать константой. Тогда (1) — уравнение с разделяющимися переменными, и

2 " ^

и= з^И+С(*4 + В)]2+Вх5-С1п(х6 + ?).

Решения (2) получаются из 7.5.

8.9. р,р2 ¦ ¦ ¦ рп = ххх2 ... хп; уравнение с разделяющимися переменными.

п

22=2^+И0, где Л, ... Ля=1. ,

v=l

или

я

(г-ов=(у)"ПК-У для любых с. iv.

v=l

8.10. р,р2 . .. Р„ = х1р1+х1рг+ . .. +JC„P„; это частный случай 8.13.

Из характеристических уравнений получаются первые интегралы pJPi. Если при этом положить Axpv = Avpx (v = 2.....п),

то получается полная система п уравнений, а из нее — полный интеграл

* = А0+-7Г±-{А1 ... АПУ-» (ЛЛ+... 4-ЛЛ)«-1.

258 ГЛ. VIII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВН. С БОЛЕЕ ЧЕМ ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 18.11

8.11. р,р2 ... р„ = (alPl - z) (агрг — z) ... (а„р„ — z).

ДляЦх,.....д:„) = 1п|.г| получается уравнение 13.1 из ч. I:

(а1?д.( — 1) ... {antXn — \) = lXi ... tXn с полным интегралом 1= А0 + А1х1+ ... +Лялглдля 1)...(а„Л„—1)==

= Л, ... Ап.

П I
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed