Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
J К/ + й/-' + - + a„Kx = ^ + ^ + ... + a„x.
133. Дробно-рациональные функции. Теперь естественно перейти к интегрированию дробно-рациональных функций. Предполо-
1J По поводу определения знака см. п. 120.
Производные и интегралы
независимо от того, будет ли а действительным или комплексным (см. п. 118).
Члены, для которых р=\, представляют значительно большие затруднения. Из теоремы (6) п. 114 сразу следует, что
^{f(x)}f(x)dx = F{f(x)\. (3)
В частности, если мы возьмем f(x) = ах-\- Ь, где а и Ь действительны, и будем писать ср (х) вместо F (х) и ф (л:) вместо F' (х), так что ср (х) — интеграл от Ф (л:), то мы получим
ф (ах -(- b) dx = у ср (ах -j- Ь). (4)
Так, например,
^г-г = In I ах 4- b I
J
ах-
и, в частности, если а — действительное число,
dx
J:
= 1п л: — а|
Таким образом, мы знаем интегралы от всех слагаемых в R (х), для которых р = \ vi а действительно. Остаются еще члены, для которых р=1 а а комплексно.
Для того чтобы найти интегралы от таких членов, мы введем дополнительное предположение, а именно, то, что все коэффициенты в R (х) действительны. Если тогда a = —j- Si является корнем кратности т уравнения Q(x) = 0, то и комплексно сопряженное число <х="у — 8г будет корнем того же уравнения той же кратности. И если простейшая дробь ^ _ встречается в выражении для R (х), то
и дробь ^ А также встретится в нем, гдеЛ комплексно сопряжено с Ар. Это следует из характера алгебраических операций, с помощью которых находятся простейшие дроби и которые подробно разбираются в учебниках алгебры.
жим, что R (х) — некоторая дробно-рациональная функция, представленная в виде, рассмотренном в п. 118, т. е. в виде суммы многочлена П(л:) и некоторого числа слагаемых вида ^ ^_ ^р.
Мы можем сразу написать интегралы от многочлена и от всех остальных слагаемых, кроме тех, для которых /? = 1. В самом деле,
246 Г лава шестая
. A D ¦ Ъ й Yд
1^Ta' I* =-^yT' ? = > ь = 1г>
где A = ас — Ьг и D = аВ —¦ ЬА.
Если в (3) мы предположим, что F{f(x)j есть 1п|/(х)|, то найдем, что
J ^g- dx = In |/(х) I, (5)
а если предположим, что /(х) = (х—¦X)'2-)-P-2I то найдем, что
А, в силу уравнений (6) п. 131 и (4) этого пункта,
J
J
Эти две формулы позволяют нам интегрировать сумму тех дробей в разложении R (х), которые мы рассматривали. А следовательно, мы теперь в состоянии написать интеграл от любой действительной дробно-рациональной функции, знаменатель которой может быть разложен на линейные множители. Интеграл от такой функции состоит из суммы многочлена, некоторого числа дробно-рациональных функций вида
А 1
р — 1 (х — а)Р-1 -
и некоторого числа логарифмических функций и арктангенсов.
Остается еще добавить, что если а комплексно, то указанная дробно-рациональная функция, входящая в состав интеграла, встречается в нем вместе с аналогичной функцией, в которой Л и а заменены комплексно сопряженными числами, и что сумма двух таких функций является действительной дробно-рациональной функцией
Таким образом, если слагаемое х'^^^_^ встречается в разложении R (х) на простейшие дроби, то вместе с ним встретится и слагаемое —-zpg/* Сумма этих двух слагаемых равна
2 (П-У-Т)-J^} (х-Т)' + 5* *
Эта дробь принадлежит к следующему общему виду:
Ax + B ах* + 2Ьх + с '
где Ь""<^ас. Читатель легко убедится в эквивалентности этих двух видов; X, (і., у, 6 выражаются через А, В, а, Ь, с следующим образом:
Производные и интегралы 247
Примеры XLVIII. 1. Доказать, что
J
ax* + 2bx+c 2а 1 ^ 2e ]А=Т \ ax+b + V^ \'
где X= ахг -(- 2Ьх -4- с, если Д < 0, и
J
Лх-f Я . Л D . ах+* — '—:— dx= ^ In X + •—= arc tg-4=—
если Д>0, причем Д = ас— ?2 и D= аВ — ЬА.
2. В. том частном случае, когда ас = Ьг, интеграл равен
- . °. ,^ + ~Ы\ах+Ь\. a(ax-\-b) а ' 1
3. Показать, что если корни уравнения Q(X) = O все действительны я различны и P (х) — многочлен степени низшей чем Q(x), то
где суммирование производится по всем корням а уравнения Q(X) = O.
[Вид простейшей дроби, соответствующей а, может быть получен из следующих соотношении:
к „_.,»«-™.,
4. Если все корни Q (х) действительны, а — двойной корень, а все остальные корни — простые иР(х)— многочлен степени низшей, чем Q(x), го интеграл равен
_^___|_Л'1п|д:-а| + 2В1п|х-Р|,
где
и_ 2Р(а) 2 {3P' (а) <?"(«)-P («)(?"' («)} д_ P(P)
<?"<«)' 3{Q'»}2 ' 0'(W
и суммирование производится по всем корням ? уравнения Q(X) = O, отличным ОТ а.
5. Вычислить
dx
(х—1)>(х*4-1)> "
[Разложение на простейшие дроби имеет вид
1___1___і 2— t f 2-ft
4(x — l)2 2(x — l) 8(x — 02 "8(x — i) +8(х + г')2 + 8(x4-i) '
и интеграл равен
-11x^-41x^-4'"^-11 + ^ 6. Проинтегрировать
X XX X
<х — в)(х —J)(X-C) * (X — а)* (х-*)' (X^ в)2 (X — й)2 ' (х—а)8 '
248
Глава шестая
(х* + а2) (Xі + Ь2) ' (х* + а2) (х2 + Ь2)' X2 (Xі +а2)' х (х2 + а2)2
7. Проинтегрировать
