Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
X —— Xq
-і-1п Уо
1_ агс йлгх0 + 6(лг + л:0) + с
г0 ° yzu
в зависимости от того, будет ли ах% + 2bx„ + с положительно (в этом случае мы обозначаем это выражение через у?) или отрицательно (в этом случае это выражение обозначается через — z\). 5. Показать с помощью подстановки
v_ Vax11 + 2Ъх +~с X — р '
что
dx с dy
Jdx _ р
(х—р) V ax* + 2bx+c ~~ J
(х—р) Vах* + 2Ьх + с J У Xy2 —jj. '
где X = ар* + 2Ьр + с, у. = ас— Ьг. [Этот метод вычисления весьма изящен, но он не столь прямолинеен, как метод, изложенный в п. 142.] 6. Показать, что интеграл
dx
X VЗх* + 2лг— 1 рационализируется подстановкой
х~1±У*
3—у8 '
(Экз. 1911 г.)
1J Изложенный метод интегрирования не применим в том случае, когда а Ь
~A~~?'< но в этом случае интеграл вычисляется подстановкой ax + b=t.
Дальнейшие сведения по интегрированию алгебраических функций читатель найдет в следующих книгах: Stolz, Grundzuge der Differential und Integralrechnung, т. 1, стр. 331 и сл., или Bromwich, Elementary Integrals, стр. 253. Другой метод вычисления был дан Гринхиллом: см. Greenhill, A chapter in the integral calculus, стр. 12 и сл.; см. также книгу автора, цитированную на стр. 248.
17 Г. Харди
т. е. 1
258 Глава шестая
(x+l)dx
- (** + 4)У*» + 9 8. Вычислить
dx
J,
(5л:2 + 12л- + 8)У 5^ + 2^-7'
^Применить метод п. 142. Уравнением, которому удовлетворяют [а и v,
является ?2 -(- 3? -(- 2 = 0, так что н- —— 2, v = — 1, и соответствующей подстановкой будет
В результате этой подстановки интеграл приводится к
__dt _ г_Ш_
(4^+1)1^97^4 J (4^+1)1/9^-4*
Первый из этих интегралов рационализируется подстановкой
а второй — подстановкой
9. Вычислить
УЭТ2—4 '
-г=====*1
1/9*»—4 J
_(лг + I) dx__р_ (л:—I) dx____
(2лг2 —2x + l)l/"3x2 —2х+1' J (2лг2 — 6л: +ІІ^У 7л-г — 22л- + 19*
(Экз. 1911 г.)
10. Показать, что интеграл j* R (лг, у) dx, где у* = ах* + 2bx + с, рационализируется подстановкой
(__ х — р y + q '
где (р, q) является любой точкой на коническом сечении .у2 = ал:8 + 2&л: + с.
X — р
[Этот интеграл, конечно, рационализируется и подстановкой t= _ .
См. п. 137.]
143. Трансцендентные функции. Благодаря большому разнообразию классов трансцендентных функций, теория их интегрирования значительно менее систематична, чем теория интегрирования дробно-рациональных или алгебраических функций. Мы рассмотрим здесь несколько классов трансцендентных функций, интегралы от которых могут быть всегда найдены.
144. Многочлены относительно косинуса й синуса от аргументов кратных х. Мы всегда можем найти интеграл от любой функции, которая является суммой конечного числа слагаемых вида.
A cos™ ах sin™'ах cos" Ъх ьтп'Ъх...,
7. Вычислить
Производные и интегралы 259
J
где Ш, т', п, п',... — положительные целые числа, а а, Ь,...— любые действительные числа. В самом деле, такое выражение может быть представлено в виде суммы конечного числа слагаемых видов
a cos {{pa -4- qb -f-...) х}, ? sin {{pa -4- qb -4- • • •) *Ь
a интегралы от этих выражений могут быть сразу записаны.
Примеры LL 1. Проинтегрировать sin9xcos! 2х. В этом случае мы применяем формулы
sin* X = ~ (3 sin X — sin Зх), cos2 2лг = у (1 -f cos 4х).
Перемножая эти два выражения и заменяя, например, sinx cos 4х выражением у (sin 5х — sin Зх), находим, что
^J (7 sin X — 5 sin Зх -(- 3 sin 5х — sin 7х) dx =
7 , 5 0 3 .,1
= — — cos X 4- —^ cos Зх — cos 5x 4- yyj cos '¦*¦•
Этот интеграл может быть, Конечно, вычислен и другими методами, причем результаты получатся в различных формах. Например,
J sin* X cos8 2х dx = j* (4 cos4 x — 4 cos* x 4- 1) (1 — cos8 x) sin x dx,
что после подстановки cosx = * приводится к виду
4 8 5
(\t* — 8*4 4- 5*8 — 1) dt = у cos7 X — cos5 X 4- у cos" x — cos x.
Нетрудно проверить, что это выражение отличается от полученного выше только аддитивной постоянной.
2. Проинтегрировать любым методом cos ах cos Ьх, sin ах sin bx, cosoxsin^x, cos*x, sin'x, cos*x, cos x cos 2x cos Зх, cos* 2XSm2Sx^oS6XsIn7X. [Во многих из таких случаев бывает удобным применить рекуррентные формулы (см. пример 55 на стр. 277).]
145. Интегралы Jx"cosxc?x, Jx"sinxc?x и подобные им.
Метод интегрирования по частям дает нам возможность обобщить предыдущие результаты. В самом деле, так как
Jx" cosx dx = хп sin X — п J*"-1 sin X dx,
Jx"sin xdx = —x" cosX-4-иJx""1 cosxdx,
эти интегралы могут быть вычислены при целочисленном положительном я повторным применением этих формул. Таким образом,
интегралы Jx"cosoxc?x и J x"sinaxc?x могут быть всегда вычислены, если п — положительное целое число. Следовательно, методом,
17»
260 Глава шестая
Примеры LIIL 1. Доказать, что
J secX dx = ln I sec X+ tgx I, J cosec X dx = In
Другой формой первого интеграла является In tg + -^j j; третьей является
_1_ j IJ-sin X і 2 I Г— sin X I'
'•• Jtgxdx= — ln|cosx|, J ctgxdx=ln |sinx], Jsec2x dx= tgx, J cosec2 X dx = — ctg x, J tg X sec x dx == sec x,
